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記事No.81516に関するスレッドです

自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

No.81499 - 2022/03/26(Sat) 07:20:18

Re: 自然対数 / らすかる
log lim[x→∞]x^a/e^(bx)
=lim[x→∞]log(x^a/e^(bx))
=lim[x→∞]alogx-bx
y=alogx-bxとおくと
y'=a/x-bなのでx>2a/bのときy'<-b/2となり
x→∞のときy→-∞
従って
log lim[x→∞]x^a/e^(bx)=lim[x→∞]alogx-bx=-∞なので
lim[x→∞]x^a/e^(bx)=0

No.81500 - 2022/03/26(Sat) 07:33:02

Re: 自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生に

私も考えてみました

でも、スッキリしないです

もっとイイ解き方が存在すると思います

No.81501 - 2022/03/26(Sat) 17:40:46

Re: 自然対数 / らすかる
ロピタルの定理を使ってよいなら
分子の指数が0以下になるまで繰り返しロピタルの定理を使って
lim[x→∞]x^a/e^(bx)
=lim[x→∞]ax^(a-1)/{be^(bx)}
=lim[x→∞]a(a-1)x^(a-2)/{b^2・e^(bx)}
・・・
=lim[x→∞]a(a-1)(a-2)…(a+1+[-a])x^(a+[-a])/{b^(-[-a])・e^(bx)}
=C・lim[x→∞]x^(a+[-a])/e^(bx)
x→∞のとき(分母)→∞、(分子)→0または1なので
(与式)=0

# [x]はガウス記号

No.81502 - 2022/03/26(Sat) 18:06:42

Re: 自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生に

まさに、頂いた考え方が

私の探していたものです

ありがとうございます。

少しお時間をください

暫し考えてみます

何卒宜しくお願い致します。

No.81503 - 2022/03/26(Sat) 18:25:03

Re: 自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
厳密ではないでしょうが

以下のように考えてみました

No.81515 - 2022/03/26(Sat) 21:19:41

Re: 自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学28日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
一部追加します。
No.81516 - 2022/03/26(Sat) 21:32:48

Re: 自然対数 / らすかる
ガウス記号を使わない方向で行くなら
a=n-r(nは整数で0≦r<1)とおいてn回ロピタルの定理を使えばいいですね。
# aが整数ならばn=a,r=0、aが非整数の場合は例えばa=3.3ならばa=4,r=0.7
lim[x→∞]x^a/e^(bx)
=lim[x→∞]x^(n-r)/e^(bx)
=lim[x→∞](n-r)x^(n-1-r)/{be^(bx)}
=lim[x→∞](n-r)(n-1-r)x^(n-2-r)/{b^2・e^(bx)}
=lim[x→∞](n-r)(n-1-r)(n-2-r)x^(n-3-r)/{b^3・e^(bx)}
・・・
=lim[x→∞]{(n-r)(n-1-r)(n-2-r)…(1-r)}x^(-r)/{b^n・e^(bx)}
={(n-r)(n-1-r)(n-2-r)…(1-r)}/b^n・lim[x→∞]x^(-r)/e^(bx) … (1)
x→∞のとき、r=0ならばx^(-r)→1、0<r<1ならばx^(-r)→0
そしてe^(bx)→∞なので
(1)={(n-r)(n-1-r)(n-2-r)…(1-r)}/b^n・0=0

# x^t/e^(bx)はt>0ならばロピタルの定理が使えて
# t≦0ならば(極限が定まることで)ロピタルの定理が使えませんので、
# a=n-r(0≦r<1)とおくと都合がいいです。

No.81520 - 2022/03/27(Sun) 08:20:08

Re: 自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学29日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ



私の答案で間違っている箇あ所gが

ありましたらご指摘ください。

何卒宜しくお願い致します。

No.81522 - 2022/03/27(Sun) 08:54:57

Re: 自然対数 / らすかる
内容的な間違いはないと思いますが、
・aがnに等しいときしか書いていないので解答として不十分
・式の分母に∞を入れているのは減点対象
ぐらいですかね。

No.81523 - 2022/03/27(Sun) 09:26:09

Re: 自然対数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学29日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生に

今回も有難うございました

No.81525 - 2022/03/27(Sun) 09:46:21