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記事No.81617に関するスレッドです
★ 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます。

何卒宜しくお願い致します。
No.81615 - 2022/04/03(Sun) 11:01:58
☆ Re: 導関数の定義 / X
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (A)
にx=3を代入して
f(3+y)=f(3)+f(y)+6y
これより
{f(3+y)-f(3)}/y=f(y)/y+6 (B)
一方、(A)にx=y=0を代入して
f(0)=0
∴(B)は
{f(3+y)-f(3)}/y={f(y)-f(0)}/y+6
両辺のy→0の極限を取ると、微分係数の定義により
f'(3)=f'(0)+6
∴f'(0)=1を代入して
f'(3)=7
No.81616 - 2022/04/03(Sun) 11:14:39
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生

お久しぶりです

早速ですが私の考え方を見てください
No.81617 - 2022/04/03(Sun) 11:19:41
☆ Re: 導関数の定義 / X
その方針でも問題ありません。
No.81619 - 2022/04/03(Sun) 11:21:41
☆ Re: 導関数の定義 / らすかる
「f(x)は微分可能」とは書かれていませんので、勝手に微分することはできないと思います。
No.81624 - 2022/04/03(Sun) 15:52:05
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル様

御もっともで

では、f(x) は、微分可能である事を示せますか

何卒宜しくお願い致します。
No.81628 - 2022/04/03(Sun) 18:57:35
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
微分可能性について触れて下さい
No.81629 - 2022/04/03(Sun) 18:59:23
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私の答案は

f(x)は微分可能として論じております

微分不可能である論証をお示し下さい
No.81630 - 2022/04/03(Sun) 19:09:58
☆ Re: 導関数の定義 / mathmouth
> 私の答案は
>
> f(x)は微分可能として論じております
>
> 微分不可能である論証をお示し下さい

横から失礼します.
fの微分可能性については,
Xさんの一番はじめの返信において, 3の部分を3に限らず一般のxのままで議論すれば同様にして原点での微分可能性と所与の等式からfがR上微分可能であることがわかります(さらにf'(x)=2x+1であることもわかります).

したがって, 実際fは微分可能ではあるものの最初から微分可能性を仮定しているのが誤りなのであって, 結局fが微分不可能であることはありえません.
No.81632 - 2022/04/03(Sun) 21:13:26
☆ Re: 導関数の定義 / らすかる
> 私の答案は
> f(x)は微分可能として論じております
> 微分不可能である論証をお示し下さい

私は「微分不可能」とは言っていません。
f(x)は微分可能とも微分不可能とも指定されていませんので、
微分可能かどうかは(調べないと)わかりません。
よって(微分可能かどうか調べることなく)「微分可能として論ずる」のは誤りです。
No.81643 - 2022/04/04(Mon) 16:10:24
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
＞私は「微分不可能」とは言っていません。

この関数は微分可能です

その論証を噛み砕いて示して下さい
No.81646 - 2022/04/04(Mon) 16:29:54
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
＞微分可能かどうかは(調べないと)わかりません。

調べてください。
No.81647 - 2022/04/04(Mon) 16:31:39
☆ Re: 導関数の定義 / らすかる
> この関数は微分可能です
> その論証を噛み砕いて示して下さい

「微分可能」を示さなければならないのは、
「f(x)は微分可能として論じております」と主張する人です。
私は示しません。

> ＞微分可能かどうかは(調べないと)わかりません。
> 調べてください。

調べる必要があるのは、微分しようとする人です。
私は調べません。

# なぜ変な方向に進むのですか？私は
# ・微分可能かどうかわからない関数を勝手に微分してはいけない
# ・微分するならば微分可能であることをその前に示す必要がある
# と言っているだけです。
# 81617の方法をとりたければ、自分で微分可能であることを示してください。
# 微分可能を示さないと、81617の解答は×です。
# 示せないならば、他の方法で解答するしかありません。

# それから、こういった掲示板は回答したい人が自由に回答するところであり、
# 私個人に依頼されても困ります。
# 81645のようなことを書くと他の人が回答できませんので、
# 削除をおすすめします。
No.81651 - 2022/04/04(Mon) 21:19:11
☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
mathmouth先生は

しっかり調べて議論されてますが、、、
No.81654 - 2022/04/04(Mon) 22:13:17
☆ Re: 導関数の定義 / らすかる
ではmathmouth先生にお聞きになって下さい。
No.81656 - 2022/04/04(Mon) 23:06:24
☆ Re: 導関数の定義 / mathmouth
> mathmouth先生は
>
> しっかり調べて議論されてますが、、、

微分可能性を示せ, という指示に対して私が回答しただけであって, 微分可能性を用いた議論がしたければ先に微分可能性を示さないといけないだけで, 問題の指示はfのR(実数)上の微分可能性を調べることとは異なります. らすかるさんに対して上のような返信をされた意味がわかりかねます.
　
微分可能性を調べろ, というならば私の述べた通り, Xさんの解答で3の代わりにxのままで議論すれば示せますが, そもそも問題の指示は点3における微分係数を求めることでした. Xさんの解答では点3における微分可能性と微分係数を同時に導けています. それを3に限らず一般の点xで同様に議論すれば, fの点xにおける微分可能性と微分係数f'(x)=2x+1が得られる, と私は述べたまでですが, そのようにしてfの微分可能性を示した後に質問者さんのような解答をすれば決して誤りではありませんが明らかに遠回りです(はじめから点3における微分可能性と微分係数を導いておけばよいので).
整理すると,
はじめから微分可能性を仮定して議論するのはまずいので(微分可能性を利用した議論がしたいのであれば)その前に微分可能性を示さないといけないものの, 微分可能性を示すと付録として同時に微分係数の値も得られるので, だったらXさんのように最初から点3における微分可能性を調べるような議論をして同時にf'(3)の値を求めるのが遠回りではなく最も簡潔だということです.
※今回の問題のように微分可能か否かわかってない状況で具体的な関数方程式が与えられている場合, たいてい関数方程式の形から微分可能性を調べようとすると, 同時に導関数の形もわかることが多いので, 「(i)微分可能性を示す(この段階で導関数の形がわかっていることが多い)→(ii)微分可能性と関数方程式から導関数を求める」という流れの議論は明らかに遠回り, というか(ii)が蛇足を含む答案になってしまいかねません.　導関数を求めよ, という指示があれば(i)で事足りますし, 今回の問題のように具体的な点での微分係数の値を求めよ, という指示があれば具体的な点において(i)の議論を行えば十分だということです.
No.81673 - 2022/04/05(Tue) 13:07:06