こんばんは
何卒宜しくお願い致します。
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No.81625 - 2022/04/03(Sun) 17:14:33
| ☆ Re: 微分可能性 / mathmouth | | | まず|g(0)|≦f(0)=0からg(0)=0.
さらに, f(x)≧|g(x)|≧0=f(0)よりfは原点で広義極小(最小と言っても構わない)となり, さらにfは原点で微分可能ゆえf'(0)=0.
(証明は
xは原点近傍に属すものとして,
f(x)-f(0)≧0より
{f(x)-f(0)}/x≧0(x>0)…(i),
{f(x)-f(0)}/x≦0(x<0)…(ii).
fの原点での微分可能性からfの両側微分係数は一致して, (i),(ii)でそれぞれx→+0,x→-0としてf'(0)≧0かつf'(0)≦0すなわちf'(0)=0を得る.)
以上を踏まえると,
|g(x)|≦f(x)
⇔-f(x)≦g(x)≦f(x)
⇔-{f(0+x)-f(0)}≦g(0+x)-g(0)≦f(0+x)-f(0)
で辺々x(≠0)で割ればxの符号に依らず
-|{f(0+x)-f(0)}/x|≦{g(0+x)-g(0)}/x≦|{f(0+x)-f(0)}/x|
となり, 左辺と右辺についてx→0の極限を考えれば
(左辺)→-|f'(0)|=0, (右辺)→|f'(0)|=0
となり, 関数の極限に関するはさみうちの原理から, 中辺について
g'(0)=lim[x→0]{g(0+x)-g(0)}/x=0.
となります.
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No.81633 - 2022/04/03(Sun) 21:42:41 |
| ☆ Re: 微分可能性 / mathmouth | | | 図も利用しておおまかなイメージは理解されているようなので, 答案の流れとしてはだいたいそれで大丈夫だと思います.
しかし, 不備がある点を指摘させていただくと
・有限な極限値が存在するかどうかわかっていないもの(例えばlim[h→0]|g(h)/h|など)をあたかも最初からそれが有限の極限値であるかのように扱うことはできません. 具体的には, 極限をとる前の不等式において極限の存在が既知でないものが含まれるのに極限をとったものを不等号で評価することは誤りです. したがって, (6)(文字化けの都合上丸を()で代用します)でg(x)の原点での微分可能性(接線の存在)を仮定してしまっていること, (7)の1つ上の不等式から各辺で形式的に極限をとって(7)のように変形してしまっている(このようなことをしてもよいのは不等式の各辺の極限が存在してかつ有限であるとき)ことなどが誤りです.
・(7)の2行下の不等式が,等号で結ばれた等式としてではなく不等式で書かれていないのかが疑問です. fは原点で微分可能と条件にあるので原点における左微分係数(h→-0の極限)と右微分係数(h→+0の極限)はともに微分係数(h→0の極限)に等しいですが, それが述べられていなくて答案のように代わりに不等式が書かれているだけだと, その不等式とその下2行の議論はf'(0)=0の根拠としては不十分になってしまっています. (∵f'(0)が(0以下の値)以上かつ(0以上の値)以下としかいえていないから.) したがって, (7)の2行下の「推測され〜」以降は不等号≦で結んだ不等式ではなく等号=で結んだ等式を書くべきだと思います.
・1つ目の極限に関する指摘と関わってくる部分もありますが, "はさみうちの原理"の主張は, "A(x)≦B(x)≦C(x)でx→aでA(x)とC(x)が同じ値Kに収束するならば, B(x)もx→aでKに収束する"というものであり, 極限値の存在が既知でない関数の"収束性"と"収束先"について述べている定理です. したがって, 「はさみうちの原理よりA(x)≦B(x)≦C(x)からただちにlim A(x)≦lim B(x)≦lim C(x)」としてしまうと, B(x)の収束性が既知でないのに1つ目の指摘で述べたような誤った操作をしているように見えかねないので, 個人的には「A(x)≦B(x)≦C(x)でlim A(x)=lim C(x)=K(有限値)ゆえ, はさみうちの原理からlim B(x)=K」のように記述するのが無難で好ましいと思います. また, 下から3行目の「ハサミ打ちの原理より〜」は不要です. (2つ目の指摘による修正を施した上で)はさみうちの原理ではなく, 単なる不等式評価による結果です.
P.S. 私の解答がわかりにくいようだったので, お詫び申し上げます. もう少し簡単な言葉で(近傍などを説明なしで使わずに)書くべきだったのかもしれません.
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No.81649 - 2022/04/04(Mon) 19:16:53 |
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