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記事No.81696に関するスレッドです

微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは。

何卒宜しくお願い致します。

次を証明せよ

です

No.81695 - 2022/04/07(Thu) 13:58:10

Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私の途中までの答案です

先に進めません

アドバイスいただけると幸いです。

No.81696 - 2022/04/07(Thu) 15:38:02

Re: 微分可能な関数 / m
絶対値で考えると処理しやすい:

問題文の仮定から |f'(θx)| < 1 なので
|f(x)| = |x f'(θx)| < |x| (x≠0)
となる.

No.81697 - 2022/04/07(Thu) 18:18:56

Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
m先生に

お久しぶりです

早速ですが

>問題文の仮定から |f'(θx)| < 1

この理由がわかりません

ご教授よろしくお願いいたします

No.81698 - 2022/04/07(Thu) 18:53:13

Re: 微分可能な関数 / m
問題文の「|f'(x)| < 1」はすべての x に対して成り立つと解釈します.
(x の範囲が明記されていない場合 x の動ける範囲全体で成り立つと解釈するのが普通.文脈に依る.)

特に,「|f'(θx)| < 1」も成り立ちます.

// A⇒B の A の部分を勝手に「仮定」と呼ぶことは,正確でなかったかも.
// これで混乱を招いていたら,ごめんなさい.

No.81700 - 2022/04/07(Thu) 19:35:50

Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
m先生に

こんばんは。

私も
>「|f'(x)| < 1」はすべての x に対して成り立つと解釈

して考えていましたが、何か腑に落ちず

次のような考察をしてみました

No.81701 - 2022/04/07(Thu) 19:50:45

Re: 微分可能な関数 / m
考察は正しいと思います.
実は平均値の定理は二つの形がある:
1. ある c (a<c<b) が存在して f(b)-f(a) = (b-a) f'(c) が成り立つ.
2. ある θ (0<θ<1) が存在して f(a+h) = f(a) + h f'((a+θh) が成り立つ.

K・A さんの考察の(4)まででこの二つの主張が同じであることを確認したことになっています.
//ベクトルっぽく c を a と b=a+h の θ:(1-θ) 内分点だと思って考えるのもありですね.

最後の行「...両辺微分して...」は,単に,
「θx = c だから f'(θx) = f'(c)」
と説明した方がすっきりして誤解がありません.
//誤解というのは,「合成関数の微分から f(θx) の微分は θf'(θx) になるのでは?」のこと.

No.81704 - 2022/04/07(Thu) 20:23:00

Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
m先生に

ご返答ありがとうございます

この考察の結果を本問題に利用したいのですが

どの様にすればいいでしょうか

何卒宜しくお願い致します。

No.81705 - 2022/04/07(Thu) 20:42:27

Re: 微分可能な関数 / m
どこで迷っていますか.
「|f'(θx)| < 1」は納得できましたか.
No.81697 の様にするのはどうですか.

No.81707 - 2022/04/07(Thu) 21:01:17

Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
せっかく
f'(θx)=f'(c)
と考察できたので

f'(θx)| < 1

の証明に使いたいと思います


我儘言って申し訳ございません

No.81708 - 2022/04/07(Thu) 21:16:42

Re: 微分可能な関数 / m
「|f'(x)| < 1」はどんな x についても |f'(x)|<1 ということ
つまり x を θx で置き換えることで(θが何であろうとも)
|f'(θx)|<1
は既にいえている.

平均値の定理の気持ちは「平均変化率と傾きが一致する接線が少なくとも一本は引ける」こと.
その接点のx座標の表し方が今回は θx, c の二通りあるだけで,その二つが等しいのは実はあたりまえ.
その点で,|f'(θx)| < 1 を証明するために f'(θx)=f'(c)を使うのはナンセンス.

No.81711 - 2022/04/07(Thu) 22:22:36