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記事No.81699に関するスレッドです

平均値の定理 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんばんは。

何卒宜しくお願い致します。

No.81699 - 2022/04/07(Thu) 19:25:06

Re: 平均値の定理 / m
(1)
f'(x) は一次式なので,
cについての一次方程式
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)
を解くことになる.簡単.

(2)
まず h>0 を考える.
(1)に b=a+h を代入して移項整理,(2)の式と比較すれば
f'(c) = f'(a+θh)
となる θ を見つければよい.
これは θ の一次方程式.解ける.

h<0 は工夫してください.腕の見せ所です.

No.81702 - 2022/04/07(Thu) 19:52:33

Re: 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
m先生に

こんばんは。

回りくどいのですが、以下のように考えました。

No.81703 - 2022/04/07(Thu) 20:06:26

Re: 平均値の定理 / m
(1)合っています.
ただ,「ラグランジュの定理」といえば平均値の定理じゃないものを思い浮かべるのだけれど(私だけ?).
「ラグランジュの平均値定理」と書いてくれるとありがたいです.

[追記]よくよく考えると文脈でわかるので「ラグランジュの定理」でも問題ない気がしてきました.
ちなみに平均値の定理は英語で MVT (mean value theorem) と略されます.「Lagrange's MVT より」とか書くとプロっぽい笑

(2)
細かいですが,(1)は a<b を暗に仮定しているので,h<0 のときは b = a+h を直接代入することはできません.

また,θを求める問題で回答の一行目に
「θ=(c-a)/(b-a) とおくと...」
は不思議です.

(1)に b = a+h を代入して(このとき c=a+(h/2))整理すれば
f(a+h) = f(a)+hf'(a+(h/2))
を得ます.
f(a+h) = f(a)+hf'(a+θh)
となるθを見つけるのが目標ですから
f'(a+(h/2))=f'(a+θh)
をθについて解けばいいとは思いませんか.

No.81706 - 2022/04/07(Thu) 20:53:38

Re: 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部2年 K・A 数学3独学30日目                  校訓: 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

今日の今日

ラグランジュの平均値定理

知ったばかりで応用できるまでには時間が必要です。

いつの日かm先生のように考えられればと

思っております。

No.81709 - 2022/04/07(Thu) 21:24:35