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記事No.81775に関するスレッドです
★ 微分 / ＯＯＩｔ
aを実数の定数として、関数ｆ(x)=（x/x^2+1） - alogx
でｆ（ｘ）が極小値をもつようなaの範囲を求めよ。と
いう問題で、ｆ’（ｘ）＝{（１−ｘ＾２）/(x^2+1)^2} -a/x
が計算して出てきたのですが、このあとaを分離させて符号変化を確認したいのですが、上手い分離の方法が分かりません。
よろしくお願いします。
No.81762 - 2022/04/13(Wed) 12:07:48
☆ Re: 微分 / 関数電卓
> f’(x)＝(1−x^2)/(x^2＋1)^2−a/x
ここまで OK なのですから
　f(x) が極値をもつ
　　　　⇔　f’(x)＝0 が x＞0 で実数解をもち，その前後で f’(x) の符号が変化する
　　　　⇔　x(1−x^2)/(x^2＋1)^2−a＝0 が x＞0 で実数解をもち，
　　　　　　　　その前後で f’(x) の符号が変化する
　　　　⇔　a は x(1−x^2)/(x^2＋1)^2 の x＞0 での 最大値 以下
です。
No.81764 - 2022/04/13(Wed) 13:03:12
☆ Re: 微分 / らすかる
最大値のときは極値を持ちませんので
最大値「未満」ですね。
あと「最小値より大きい」も必要です。
No.81768 - 2022/04/13(Wed) 14:16:46
☆ Re: 微分 / 関数電卓
あぁその通りです。失礼しました。
No.81772 - 2022/04/13(Wed) 15:46:23
☆ Re: 微分 / ＯＯＩｔ
ｇ（ｘ）＝x(1−x^2)/(x^2＋1)^2のグラフの概形がわかりません。
ｇ’（ｘ）＝(x＾４-6x^2+1)/(x^2+1)^3となって詰まっています。
No.81773 - 2022/04/13(Wed) 17:51:24
☆ Re: 微分 / 関数電卓
手計算で微分する 腕力 は必要だけど，こういう 便利な tool を利用しないのは もったいない。
是非，ご利用あれ！
ただし，↓は y 方向を拡大強調してあります。
また，grapes で作成したものを print screen で読み込み， paint.exe で加工してあります。
さらに， こちら もご利用あれ！（<別の形>の分子の因数分解です）
No.81775 - 2022/04/13(Wed) 18:30:35
☆ Re: 微分 / らすかる
g'(x)=(x^4-6x^2+1)/(x^2+1)^3
x^4-6x^2+1=0を解くと
x=±√2±1（複号任意）
g(√2+1)=-1/4
g(√2-1)=1/4
g(0)=g(1)=0
x→+∞のときg(x)→-0
とわかりますので、g(x)は
g(0)=0
0＜x＜√2-1で増加
g(√2-1)=1/4（最大値）
√2-1＜x＜1で減少
g(1)=0
1＜x＜√2+1で引き続き減少
g(√2+1)=-1/4（最小値）
√2+1＜xで増加してx軸に漸近
のような形とわかりますね。
No.81780 - 2022/04/13(Wed) 20:26:04
☆ Re: 微分 / ast
本問において
> ｇ（ｘ）＝x(1−x^2)/(x^2＋1)^2のグラフの概形
というときに g'(x) は符号だけが分かればよい存在なのですから, 分母 (x^2+1)^3 は常に正であることに注意すれば, 分子 x^4-6x^2+1 の符号の決定にだけ注力すればよいですし, また x^4-6x^2+1 は複二次式ですから二次函数の知識だけあれば十分追跡できる, といったあたりを踏まえると

> ｇ’（ｘ）＝(x＾４-6x^2+1)/(x^2+1)^3となっ
たところで「詰まっ」たと考えてしまったのは早計で, もったいなかったといえるのでは.
No.81783 - 2022/04/14(Thu) 03:55:04