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記事No.81806に関するスレッドです
★ (No Subject) / 中3数学
質問です。「三角錐O-ABCがあり、OA=11 OB=10 OC=7 AB=3 BC=5 CA=7である。この立体の体積を求めよ。」これを教えてください。
No.81800 - 2022/04/15(Fri) 15:48:12
☆ Re: / らすかる
AB^2+BC^2＜CA^2から
△ABCは∠ABCが鈍角の鈍角三角形
Cから直線ABに垂線CHを下すと
CH=5√3/2、BH=5/2、OH=√385/2
CH^2+BH^2＜OH^2から
△OHCは∠HCOが鈍角の鈍角三角形で
CHを底辺とすると高さは√3817/10
AB^2+OB^2＜OA^2から
△OABは∠ABOが鈍角の鈍角三角形で
Oから直線ABに垂線OMを下すとBM=2となるから
MH=BH-BM=1/2
よってOから底面ABCに垂線OPを下すと
Pと直線CHの距離は1/2だから、
三角錐O-ABCの高さは
√{(√3817/10)^2-(1/2)^2}=2√237/5
△ABCの面積はAB×CH÷2=3×(5√3/2)÷2=15√3/4なので
三角錐O-ABCの体積は(15√3/4)×(2√237/5)÷3=3√79/2

# もう少し簡単な方法がありそうな気がします。
No.81803 - 2022/04/15(Fri) 19:13:57
☆ Re: / 中3数学
僕と解法こそ違えどよく解かれましたね。流石過ぎます。塾の先生達は当てにならなかったのでとてもありがたいです。
No.81804 - 2022/04/15(Fri) 19:18:17
☆ Re: / らすかる
ちなみに検算には公式を使いました。

[四面体の体積]
辺の長さの2乗をa,b,c,l,m,nとする。
ただし(a,l)(b,m)(c,n)の3組は頂点を共有しない。
このとき
(12V)^2=
al(-a+b+c-l+m+n)
+bm( a-b+c+l-m+n)
+cn( a+b-c+l+m-n)
-lbc-amc-abn-lmn

a=121,b=100,c=49,l=25,m=49,n=9
とすると
(12V)^2=25596=2^2×3^4×79
12V=2×3^2×√79
∴V=3√79/2
No.81805 - 2022/04/15(Fri) 20:18:14
☆ Re: / 関数電卓
４面が全て鈍角三角形の４面体。
よくもまあ各辺の整数値を見つけたものだと，感心します。
（△ABC の 7:5:3 は有名だけど）
実際４面体を作ってみましたが，下の図の印象より細長いです。
尚，図は △ABC を xy 平面上に置き
　O(−117√3/70, 121/14, 2√237/5)，A(0, 0, 0), B(15√3/14, 33/14, 0), C(0, 7, 0)
として描きました。
No.81806 - 2022/04/15(Fri) 22:49:20
☆ Re: / らすかる
> ４面が全て鈍角三角形の４面体。
> よくもまあ各辺の整数値を見つけたものだと，感心します。

特別な組合せというわけではありませんので、
いくらでも簡単に作れるのではないでしょうか。
例えばAB=3、BC=5、CA=7は変えずに
OA=22、OB=20のように大きい値にすると、
△OABと△ABCのなす角を0°にしたときのOCの距離は約15.08
そして△OBCも△OCAも鈍角三角形になるための条件として
OC＜√(OA^2-AC^2)≒20.86 かつ
OC＜√(OB^2-BC^2)≒19.36
なので、OCには16〜19の整数値が設定できます。
No.81807 - 2022/04/16(Sat) 02:17:11