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記事No.81934に関するスレッドです
★ 共通部分の体積 / 大西
座標空間内において
z≧x^2+y^2と|x|+|y|+|z|≦1の2つの領域の共通部分の体積を求めよ。

共通部分をz=t（0≦t≦1）で切った時の図形の形状から、
（1）0≦t≦2-√3
（2）2-√3＜t＜(3-√5)/2
（3）(3-√5)/2≦t≦1

の部分に分けて考えることができて、それぞれの断面積をS(t)とおくと、
（1）のとき
断面は半径√tの円となるので、
S(t)=πtとなって、（1）の領域での体積は(7-4√3)π/2
（3）のとき
断面は一辺の長さが(1-t)/√2の正方形となるので、
S(t)=2(1-t)^2となって、（3）の領域での体積は2(√(5)-2)/3
となると思うのですが、
（2）のときの断面積とこの領域での体積を求めることができないです。
教えてください。
No.81920 - 2022/04/27(Wed) 16:05:40
☆ Re: 共通部分の体積 / 関数電卓
(2)のとき，断面積は↓図の水色部分の８倍。
図のように交点座標 α を定めると，α は t の結構複雑な関数で，
水色の面積を求める過程で，sin-1α が出る。
これを t について与えられた範囲で積分できるのか？
最後までキチンとやってはいないので…　ごめんなさい。
No.81932 - 2022/04/27(Wed) 22:20:20
☆ Re: 共通部分の体積 / 大西
私もこの部分の積分に行き詰ってしまいました。
こんな感じでθを取って積分しようとしましたが無理でした。
No.81934 - 2022/04/27(Wed) 23:14:57
☆ Re: 共通部分の体積 / らすかる
偏角0〜π/4のぶんだけ考えて8倍すればいいですね。
計算しやすいようにちょっと向きを変えて直角二等辺三角形OABを
O(0,0), A((1-t)/√2,0), B((1-t)/√2,(1-t)/√2)
とすると
直線ABはx=(1-t)/√2
これとx^2+y^2=tとの交点を求めると、y座標は√(-t^2+4t-1)/√2
よって三角形の面積は(1-t)√(-t^2+4t-1)/4
扇形の中心角は
θ=π/4-arctan({√(-t^2+4t-1)/√2}/{(1-t)/√2})
=π/4-arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))
なので、扇形の面積は{π/4-arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))}t/2
全体の面積はこの二つの合計の8倍なので
2(1-t)√(-t^2+4t-1)+{π-4arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))}t
これの不定積分は
(-4t^2+7t-16)√(-t^2+4t-1)/6+πt^2/2
-2t^2arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))+9arcsin((t-2)/√3)/2+C
なので、t=(3-√5)/2,2-√3を代入して差をとり整理すると
(2)の部分の体積は
{32-22√5+(24√3-15)π-54arctan((3+√5)/2)}/12=0.096317832…
となります。
No.81935 - 2022/04/27(Wed) 23:33:52
☆ Re: 共通部分の体積 / 大西
ありがとうございます。
方針は間違っていなくて計算力が足りなかっただけでした。
No.81937 - 2022/04/28(Thu) 07:15:46