三回目です。いつもありがとうございます。どうぞよろしくお願いいたします。
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No.81946 - 2022/04/29(Fri) 15:51:20
| ☆ Re: 方程式 / X | | | (3)
(1)の結果から
α+β=-k (A)
(i)
f(α)=f(β)より
(β-α)(β+α)+2k(β-α)=0
∴(α+β+2k)(β-α)=0
条件からβ-α≠0ゆえ
α+β+2k=0
これに(A)を代入して
k=0
となるので(*)は
x^2-3=0
∴x=±√3
よってα＜βにより
(α,β)=(-√3,√3)
(ii)
条件からf(α),f(β)は(*)の解ゆえ
(I)f(α)=αかつf(β)=β
(II)f(α)=βかつf(β)=α
のいずれかになります。
(I)のとき
α^2+2kα+l=α
β^2+2kβ+l=β
∴
α^2+(2k-1)α+l=0
β^2+(2k-1)β+l=0
これはxの二次方程式
x^2+(2k-1)x+l=0
と(*)とが等価であることを
示しているので、係数比較により
k=2k-1 (B)
3k-3=l (C)
(B)(C)を連立で解いて
(k,l)=(1,0)
これは(2)の結果を満たします。
(II)のとき
α^2+2kα+l=β (D)
β^2+2kβ+l=α (E)
(D)-(E)より
(α-β)(α+β+2k+1)=0
条件からα-β≠0ゆえ
α+β+2k+1=0
これに(A)を代入して
k=-1
∴(*)は
x^2-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
∴x=3,-2
∴(D)(E)の等式の組は
9-6+l=-2
4+4+l=3
これらはいずれも
l=-5
∴(k,l)=(-1,-5)
これは(2)の結果を満たします。
以上から
(k,l)=(1,0),(-1,-5)
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No.81947 - 2022/04/29(Fri) 22:03:16 |
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