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記事No.81966に関するスレッドです
★
高校数学B 平面ベクトル
/ ひろし
引用
下記問題について教えて下さい。
解説を読んでも分かりませんでした。
四角形ABCDにおいて、
→(AB)・→(BC)＝→(BC)・→(CD)＝→(CD)・→(DA)＝→(DA)・→(AB)とする。
(1)
｜→（AB)｜2＋｜→（BC)｜2 ＝ ｜→（CD)｜2＋｜→（DA)｜2
(2)
｜→（AB)｜＝｜→（CD)｜
(3)
→AB⊥BC
念のため、問題の写真も貼り付けます。
（問題番号９６）
No.81966 - 2022/05/07(Sat) 13:24:52
☆
Re: 高校数学B 平面ベクトル
/ ヨッシー
引用
太字
はベクトルを表すものとします。
(1)
ＡＣ
＝
ＡＢ
＋
ＢＣ
＝
ＡＤ
＋
ＤＣ
各辺自分自身との内積を取って
|
ＡＣ
|
2
＝|
ＡＢ
|
2
＋２
ＡＢ
・
ＢＣ
＋|
ＢＣ
|
2
＝|
ＡＤ
|
2
＋２
ＡＤ
・
ＤＣ
＋|
ＤＣ
|
2
条件より
２
ＡＢ
・
ＢＣ
＝２
ＣＤ
・
ＤＡ
＝２
ＡＤ
・
ＤＣ
よって
|
ＡＢ
|
2
＋|
ＢＣ
|
2
＝|
ＡＤ
|
2
＋|
ＤＣ
|
2
＝|
ＣＤ
|
2
＋|
ＤＡ
|
2
(2)
同様に
|
ＢＣ
|
2
＋|
ＣＤ
|
2
＝|
ＤＡ
|
2
＋|
ＡＢ
|
2
これと
|
ＡＢ
|
2
＋|
ＢＣ
|
2
＝|
ＣＤ
|
2
＋|
ＤＡ
|
2
の差を取って、
|
ＡＢ
|
2
−|
ＣＤ
|
2
＝|
ＣＤ
|
2
−|
ＡＢ
|
2
移項して２で割ると
|
ＡＢ
|
2
＝|
ＣＤ
|
2
よって
|
ＡＢ
|＝|
ＣＤ
|
(3)
同様に
|
ＢＣ
|＝|
ＤＡ
|
が言えます。
ＡＢ
・
ＢＣ
＝
ＢＣ
・
ＣＤ
より
|
ＡＢ
||
ＢＣ
|cos∠Ｂ＝|
ＢＣ
||
ＣＤ
|cos∠Ｃ
|
ＡＢ
|＝|
ＣＤ
| より
|
ＡＢ
||
ＢＣ
|cos∠Ｂ＝|
ＢＣ
||
ＡＢ
|cos∠Ｃ
|
ＡＢ
||
ＢＣ
|＞０ で割って
cos∠Ｂ＝cos∠Ｃ
0＜∠Ｂ、∠Ｃ＜π より
∠Ｂ＝∠Ｃ
同様に
∠Ｃ＝∠Ｄ、∠Ｄ＝∠Ａ
が順に言えて、
∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝π/2
よって、
ＡＢ
⊥
ＢＣ
No.81969 - 2022/05/07(Sat) 19:37:18
☆
Re: 高校数学B 平面ベクトル
/ ひろし
引用
ご丁寧な解説ありがとうございました。
大変助かります。
今後も、何卒宜しくお願い致します。
> 太字はベクトルを表すものとします。
> (1)
> ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＤ＋ＤＣ
> 各辺自分自身との内積を取って
> |ＡＣ|2＝|ＡＢ|2＋２ＡＢ・ＢＣ＋|ＢＣ|2＝|ＡＤ|2＋２ＡＤ・ＤＣ＋|ＤＣ|2
> 条件より
> ２ＡＢ・ＢＣ＝２ＣＤ・ＤＡ＝２ＡＤ・ＤＣ
> よって
> |ＡＢ|2＋|ＢＣ|2＝|ＡＤ|2＋|ＤＣ|2＝|ＣＤ|2＋|ＤＡ|2
> (2)
> 同様に
> |ＢＣ|2＋|ＣＤ|2＝|ＤＡ|2＋|ＡＢ|2
> これと
> |ＡＢ|2＋|ＢＣ|2＝|ＣＤ|2＋|ＤＡ|2
> の差を取って、
> |ＡＢ|2−|ＣＤ|2＝|ＣＤ|2−|ＡＢ|2
> 移項して２で割ると
> |ＡＢ|2＝|ＣＤ|2
> よって
> |ＡＢ|＝|ＣＤ|
> (3)
> 同様に
> |ＢＣ|＝|ＤＡ|
> が言えます。
> ＡＢ・ＢＣ＝ＢＣ・ＣＤ
> より
> |ＡＢ||ＢＣ|cos∠Ｂ＝|ＢＣ||ＣＤ|cos∠Ｃ
> |ＡＢ|＝|ＣＤ| より
> |ＡＢ||ＢＣ|cos∠Ｂ＝|ＢＣ||ＡＢ|cos∠Ｃ
> |ＡＢ||ＢＣ|＞０ で割って
> cos∠Ｂ＝cos∠Ｃ
> 0＜∠Ｂ、∠Ｃ＜π より
> ∠Ｂ＝∠Ｃ
> 同様に
> ∠Ｃ＝∠Ｄ、∠Ｄ＝∠Ａ
> が順に言えて、
> ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝π/2
> よって、
> ＡＢ⊥ＢＣ
No.81970 - 2022/05/07(Sat) 21:27:02
