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記事No.82236に関するスレッドです
★ 円柱の斜め切断の切り口 / たか
半径r、高さhの円柱をちょうど斜めに２分割した時、
切った円柱の側面を展開したときに、切り口はどのような曲線になっているか
という質問です。

切り口は楕円である。
楕円の方程式が(x^2)/((r^2)+(h^2)/4) + (y^2)/(r^2) = 1

媒介変数を使って
x = r･cosθ
y = (((r^2)+(h^2)/4)^(1/2))･sinθ

切断面の平面の方程式は
z = (-tanθ)x + 1　…?@

tanθ= h/2r, x = r･cosθを ?@式に代入して、
z = (-h/2r)･r･cosθ + 1
と考えたのです。

斜め45度で切ったものはありましたが、今回は高さがh、直径が2rなので、tanθ= h/2rで考えればいいと思ったのですが、どうしても計算が合いません。
原点と2rで0になるようなサインカーブを期待したのですが、なぜかなりません。
No.82236 - 2022/05/30(Mon) 14:21:01
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / らすかる
> 媒介変数を使って
> x = r･cosθ
> y = (((r^2)+(h^2)/4)^(1/2))･sinθ

これを楕円の方程式に代入しても成り立たないと思います。

> z = (-tanθ)x + 1　…?@

この「1」とは何ですか？
No.82239 - 2022/05/30(Mon) 16:02:32
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / たか
すいません。

> z = (-tanθ)x + 1　…?@

は、確かめてみたら間違っていました。
立式ができず訳が分からなくなりました。
No.82240 - 2022/05/30(Mon) 16:53:29
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / ヨッシー

図のように、上から見た図において、角度θの点を考えると、
この点のｘ座標は
　ｘ＝ｒcosθ
これを、下の側面図に当てはめると
　ｙ＝(h/2r)ｘ＝(h/2)cosθ
最終的には、ｙとｔ（＝ｒθ）
との関係式を求めます。
No.82241 - 2022/05/30(Mon) 17:14:13
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / X
横から失礼します。

＞＞たかさんへ
問題の楕円において、底面に平行な軸をx軸に
取っていますので、切断面の方程式を
> z = (-tanθ)x + 1
のようにzをxの式で表すのは明らかに誤りです。
又、添付写真の展開図の概形の横方向の目盛りですが
左から0,πr,2πr
であり、rが抜けています。

更に媒介変数と、切断面の底面に対する仰角を
同じθで表しているなど、変数の取り方が
ごちゃごちゃになっていますので、
以下のように最初から仕切り直して考えてみます。

円柱の底面上(切断面上ではありません)に、
切断面の楕円の水平方向の軸と平行
になるようにx軸を取り、対応するように
y軸をを取ります。
但し、底面の円の中心を原点とします。

このx,y軸に対してz軸を原点がx,y軸のそれと
一致するように上向きに取ります。
このとき、x,y軸を極座標に変換すると
円柱の側面上の点のx,y座標に対し
x=rcosθ (A)
y=rsinθ (B)
(但し、π/2≦θ≦π/2+2πとします。)
又、切断面の底面に対する仰角をΘ(0≦Θ＜π/2)
とすると
z=-ytanΘ+h/2 (C)
tanΘ=h/(2r) (D)
更に側面の円周方向に点(0,1,0)を原点として
θが増加する向きにt軸を取ると
t=r(θ-π/2) (E)
(A)(D)(E)を用いて(C)からΘ,xを消去すると
z=(h/2){1-cos(t/r)}
となり、添付写真の展開図のような概形を
得ます。
No.82242 - 2022/05/30(Mon) 18:18:16
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / たか
Xさんのおっしゃることを、横から見た図と上から見た図と斜め上から見た図、そして座標軸を設定するとわかりました。
ありがとうございます。
No.82255 - 2022/05/31(Tue) 17:40:24