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記事No.82274に関するスレッドです
★ ルベーグ積分 / りこ
次の問題が全く検討がつかず困っています。教えていただきたいです!
No.82274 - 2022/06/04(Sat) 17:33:56
☆ Re: ルベーグ積分 / m
(1)について．
f(x) のグラフは描けますか．
「積分確定」の意味は説明できますか．
No.82276 - 2022/06/04(Sat) 21:48:41
☆ Re: ルベーグ積分 / りこ
f(x)のグラフは描けます!
∫f+か∫f-の少なくとも一方が有限なら積分確定になると思います。
No.82280 - 2022/06/05(Sun) 14:41:41
☆ Re: ルベーグ積分 / m
(1)
A の定義関数（特性関数ともいう）を 1_{A} と書きます．

f+ を f の正の部分とすれば
f+ = 2 * 1_{(0, 1]}
と表せる．従って
∫f+ = 2
このことから f は積分確定．


(2)
集合 [0, 1] ∩ Q が可算集合であるという事実を使って
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0
を示すことはできますか．
これを使うと与えられた積分が求まります

// ルベーグ測度 μ の性質「一点集合は測度ゼロ」を使うことに注意．
// 大学の講義なら，ルベーグ積分では可算集合はある意味無視できるといったことを既に扱っているかも．
No.82282 - 2022/06/05(Sun) 16:57:03
☆ ルベーグ積分 / りこ
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0は示すことができたのですが、これを使って積分の値を求めるとはどうすればいいのかわかりません。
いっぱい質問してしまいすみません。
No.82286 - 2022/06/05(Sun) 18:35:11
☆ Re: ルベーグ積分 / m
μ([0, 1] ∩ Q) = 0
から
∫_{[0,1]∩Q} f = 2*μ([0, 1] ∩ Q) = 0
が従います．

さらに積分の加法性により
(∫_{[0,1]-Q} f) + (∫_{[0,1]∩Q} f) = ∫_{[0,1]} f
ですから，∫_{[0,1]} f = 2 を代入して
∫_{[0,1]-Q} f = 2 を得ます．

（ただし，[0,1]-Q は差集合を表しています．）
No.82288 - 2022/06/05(Sun) 19:46:07