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記事No.82281に関するスレッドです
★ (No Subject) / りこ
(2)がわからず困っています。どなたか教えていただきたいです!
No.82281 - 2022/06/05(Sun) 15:10:35
☆ Re: / m
まずは，b<1, 1≦b<2, 2≦b で場合分けをして
f^{-1} ([-∞, b]) を求めてみてください．
No.82283 - 2022/06/05(Sun) 17:10:17
☆ (No Subject) / りこ
ありがとうございます。
b<1のとき　f^{-1} ([-∞, b])=Φ
1≦b<2のとき　f^{-1} ([-∞, b])=(0,1/3]
2≦bのとき　f^{-1} ([-∞, b])=(1/3,1]
となりÀの元になるので、満たしているということでいいでしょうか？
No.82285 - 2022/06/05(Sun) 17:47:40
☆ Re: / m
そのとおりです！

[訂正]
今見返すと．
2≦bのときは f^{-1} ([-∞, b])=(0,1]
ですね．
No.82289 - 2022/06/05(Sun) 19:47:13
☆ Re: / m
蛇足：唐突に出てくる f^{-1} ((-∞, b]) のお気持ち

よく，リーマン積分はグラフを縦に切っていて，ルベーグ積分は横に切ると説明されます．
なので本当は a<f(x)≦b となる x の集合．つまり f^{-1} ((a, b]) を調べたい．
ただ，文字が二つあると面倒なのでいろいろ議論すると f^{-1} ((-∞, b]) だけを調べれば十分ということがわかり（正確には測度空間の性質から必要十分），簡単だからそうしているというだけです．

ちなみに可測関数の定義に
f^{-1} ([a, b]) や f^{-1} ((a, ∞]) を採用しても同値です．
No.82293 - 2022/06/05(Sun) 20:24:45