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記事No.82342に関するスレッドです
★ (No Subject) / Kokona
高校数学です。

写真のように、円周上の位置にある扇形が、回転しながら円周上を移動します。
元の位置に扇形がちょうど一回転して元の位置に戻った時の、点aの描く曲線の長さはいくらになるのでしょうか？
No.82342 - 2022/06/09(Thu) 04:10:07
☆ Re: / X
問題の条件が足りません。
＞＞扇形がちょうど一回転して
とありますが、回転の中心と扇形の位置関係は
どのようになっていますか？

図をそのまま解釈すると、点aの描く曲線は
扇形の形状に無関係の回転軌道の円周にしか
見えません。
この円周の半径は設定していないのですか？
No.82344 - 2022/06/09(Thu) 05:32:42
☆ Re: / ast
# 解答はまだ考えてもいませんが, 回答者の問題解釈に齟齬がおきているようなので少し書きます.

もとの問題文(の正確な内容)はないのでしょうか?
> 円周上の位置にある扇形が、回転しながら円周上を移動します。
正確には「図の扇形が円周上を滑ることなく転がる」のような表現になっていませんか?
# 「滑ることなく転がる」は一種の専門用語で意味が一意に確定しますが, 質問者さんの表現だとよく伝わらない気がします

> 元の位置に扇形がちょうど一回転して元の位置に戻った時の
これも既に指摘があるように適当に与えられた図形同士だと必ず起きることではないので誤って伝わる表現のように思います. たぶんそうなるように与えられた円周の長さ=扇形の周囲の長さ(=2r+l)と「仮定した」のですよね?

> 点aの描く曲線の
a はどっちの図形のどの位置かはっきりわかるようにしてください.
No.82345 - 2022/06/09(Thu) 13:07:05
☆ Re: / らすかる
図を見るとaは「円周上の点」に見えます。
そう考えると、扇形がどう動こうとaは動きませんので
曲線の長さは0になります。
もしかして、元の図ではaは扇形の内部に
書かれていませんでしたか？
（あるいは、「中心がAである扇形」などと書かれていませんでしたか？）
もし「元の問題文」があるならば、一字一句変更することなく
そのまま書き写して頂くか、あるいは問題文の写真を
提示して頂いた方が良いかと思います。
No.82346 - 2022/06/09(Thu) 13:11:41
☆ Re: / Kokona
すいませんでした。問題文は次の通りです。
「半径r, 弧の長さlの扇形が、円周上を滑ることなく回転する。はじめに円周上にあった扇形の中心aがちょうど一回転して元の位置に戻った時、点aの描く曲線を求めなさい。」

Xさんへ。
円の半径はありません。このような図のままです。

astさんへ。
「滑ることなく転がる」という表現がありました。
与えられた図は、先の写真のような図です。
aは扇形の中心です。
すいませんでした。

らすかるさんへ。
すいません、問題文を上に書きました。
No.82350 - 2022/06/10(Fri) 05:02:31
☆ Re: / X
問題の扇形を転がす円周の半径をRとすると
R=(l+2r)/(2π) (A)
今、点aの初期位置をA、円周の中心をOとして
OAを基準にした極座標を考えます。
但し動径方向をγ軸とします。

扇形の回転過程の対称性により
0≦θ≦π
の場合を考えます。

(i)r/R≦θ≦πのとき
点aの描く曲線は
半径r+R,中心角π-r/Rの円弧
の一端に
半径rの1/4円
を繋げた形状になるので、
曲線の長さをL[1]とすると
L[1]=R(π-r/R)+(1/4)・2πr
=πR-r+πr/2

(ii)0≦θ≦r/Rのとき
扇形の半径となっている線分と
円周との接点をBとすると、
△OaBについて三平方の定理より
γ=Oa=√(aB^2+OB^2)
=R√(1+θ^2)
∴曲線の長さをL[2]とすると
L[2]=∫[0→r/R-φ]γdθ
(但しφはtanφ=r/R,0＜φ＜π/2なる角)
=R∫[0→r/R-φ]√(1+θ^2)dθ
=R[(1/2){θ√(θ^2+1)+log(θ+√(θ^2+1))}][0→r/R-φ]
(注:計算過程は省略します)
=(R/2){(r/R-φ)√{(r/R-φ)^2+1}+log{(r/R-φ)+√{(r/R-φ)^2+1}}}

(i)(ii)から求める曲線の長さをLとすると
L=2(L[1]+L[2])
=2πR-2r+πr+(r-Rφ)√{(r/R-φ)^2+1}+Rlog{(r/R-φ)+√{(r/R-φ)^2+1}}
これに(A)を代入して

L=l+πr+{r-(l+2r)φ/(2π)}√{(2πr/(l+2r)-φ)^2+1}
+{(l+2r)/(2π)}log{(2πr/(l+2r)-φ)+√{(2πr/(l+2r)-φ)^2+1}}
(但し、φはtanφ=2πr/(l+2r),0＜φ＜π/2なる角)

注)
上記のように答えの形はかなり煩雑ですが、これ以上簡単な式には
できません。
No.82357 - 2022/06/10(Fri) 17:40:48