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記事No.82397に関するスレッドです
★ 積分漸化式 /
3・3の漸化式がなぜ作れるのか分からないです💦
教えてください
No.82397 - 2022/06/12(Sun) 18:05:05
☆ Re: 積分漸化式 / X
単に証明するのであれば、I[n]の定義により
I[n]+I[n+2]=∫[0→π/4]{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}dx
=∫[0→π/4]{(tanx)^(n-2)}{1/(cosx)^2}dx
=[{1/(n-1)}(tanx)^(n-1)][0→π/4]
=1/(n-1)
となります。
No.82398 - 2022/06/12(Sun) 18:23:41
☆ Re: 積分漸化式 / 　　
I[n]+I[n+2]=∫[0→π/4]{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}dx
↓
{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}ここの部分を計算すると(tanx)^n-1となってしまい(tanx)^n+1が出ないと思われますが...
No.82399 - 2022/06/12(Sun) 19:31:08
☆ Re: 積分漸化式 / ast
自明なtypo から (つまりXさんが実際に計算しているのは I[n-2]+I[n] なので) 話が変な展開になってますが, 理屈自体は (添字のずれを勘案すれば結論も) 合っているので自分で改めて検算していればそんなところで引っかかって進めなくなる事態は起きずに済むのでは?

実際, I[n]+I[n+2] の被積分函数は tan(x)^n+tan(x)^(n+2) = tan(x)^n(1+tan(x)^2) で　d(tan(x))=dx/cos(x)^2=(1+tan(x)^2)dx ですから

　I[n]+I[n+2] = ∫_[0,π/4] tan(x)^n * d(tan(x)) = [tan(x)^(n+1)/(n+1)]_[0,π/4] = 1/(n+1)

です.
No.82400 - 2022/06/12(Sun) 21:52:36
☆ Re: 積分漸化式 /
やっと理解出来ました
Xさんastさんありがとうございました✨
No.82402 - 2022/06/12(Sun) 22:14:55