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記事No.82457に関するスレッドです
★ 式と証明 / Nao
この2問、解答がなく、正答がわかりません。
どなたか解いていただけないでしょうか。
No.82457 - 2022/06/19(Sun) 09:36:40
☆ Re: 式と証明 / らすかる
(4)
2x+2y+z=2からz=2-2x-2y
x^2+2y^2+z^2に代入して整理すると
x^2+2y^2+z^2=x^2+2y^2+(2-2x-2y)^2
=5x^2+8xy+6y^2-8x-8y+4
=(1/5)(25x^2+40xy)+6y^2-8x-8y+4
=(1/5)(25x^2+40xy+16y^2)+6y^2-(16/5)y^2-8x-8y+4
=(1/5)(5x+4y)^2+(14/5)y^2-8x-8y+4
=(1/5)(5x+4y)^2+(14/5)y^2-(8/5)(5x+4y)-(8/5)y+4
=(1/5)(5x+4y)^2-(8/5)(5x+4y)+(14/5)y^2-(8/5)y+4
=(1/5){(5x+4y)^2-8(5x+4y)}+(2/35)(49y^2-28y)+4
=(1/5){(5x+4y)^2-8(5x+4y)+16}+(2/35)(49y^2-28y+4)+4-16/5-8/35
=(1/5)(5x+4y-4)^2+(2/35)(7y-2)^2+4/7
となるので5x+4y-4=0かつ7y-2かつ2x+2y+z=2すなわち
(x,y,z)=(4/7,2/7,2/7)のときに最小値4/7をとる。

(5)
3変数の相加相乗平均により
1/x+1/y+1/z=2から
2=1/x+1/y+1/z≧3/[3]√(xyz)
∴[3]√(xyz)≧3/2（等号は1/x=1/y=1/zのとき）
再び3変数の相加相乗平均により
x+y+z≧3[3]√(xyz)≧9/2（等号はx=y=zかつ1/x=1/y=1/zのとき）
となるので、x+y+zの最小値はx=y=z=3/2のときで9/2

ちなみに答え合わせは↓こちらのサイトでできます。
(4)
(5)
No.82458 - 2022/06/19(Sun) 10:51:37
☆ Re: 式と証明 / X
別解)
以下はベクトルを学習済みであることが前提になります。

(4)
2x+2y+z=2 (A)
f=x^2+2y^2+z^2 (B)
とします。
↑b=(x,y√2,z)
↑a=(2,√2,1)
と置くと(A)(B)は
↑a・↑b=2 (A)'
f=|↑b|^2 (B)'
又
|↑a|^2=7 (C)
ここで
|↑a||↑b|≧↑a・↑b
∴(|↑a|^2)|↑b|^2≧(↑a・↑b)^2
これに(A)'(B)'(C)を代入すると
7f≧4
∴f≧4/7
となるので、fの最小値は4/7

(5)
↑a=(1/√x,1/√y,1/√z)
↑b=(√x,√y,√z)
f=x+y+z
と置くと、
|↑a|^2=2 (A)
又
↑a・↑b=(1/√x)√x+(1/√y)√y+(1/√z)√z
∴↑a・↑b=3 (B)
更に
f=|↑b|^2 (C)
ここで
|↑a||↑b|≧↑a・↑b
∴(|↑a|^2)|↑b|^2≧(↑a・↑b)^2
これに(A)(B)(C)を代入すると
2f≧9
∴f≧9/2
となるのでfの最小値は9/2です。
No.82461 - 2022/06/19(Sun) 11:05:55
☆ Re: 式と証明 / Nao
らすかるさま、Xさま

ご丁寧な解説ありがとうございます！
お陰様で理解できました。
No.82475 - 2022/06/19(Sun) 21:16:28