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記事No.82577に関するスレッドです
★ 条件の十分性について / ちくわ
写真の青文字の部分について回答していただけるとありがたいです。
No.82570 - 2022/06/27(Mon) 13:47:38
☆ Re: 条件の十分性について / IT
念のためですが、右のページの最後の行の続きには、どう書いてありますか？
No.82575 - 2022/06/27(Mon) 18:55:56
☆ Re: 条件の十分性について / ちくわ
次ページの内容です。この問題に関してはこれ以上のページはありません。
No.82577 - 2022/06/27(Mon) 19:06:26
☆ Re: 条件の十分性について / IT
「ではありません。」とちゃんと書いてありますね。
No.82579 - 2022/06/27(Mon) 19:15:18
☆ Re: 条件の十分性について / ちくわ
x>0,y>0よりもx≧1,y≧1の方が正確な範囲な気がするのですがx>0,y>0としてもよい理由を教えていただきたいです。
No.82580 - 2022/06/27(Mon) 19:21:49
☆ Re: 条件の十分性について / IT
たしかに、釈然としない気がするのは同感です。

ほとんどその解答の繰り返しになりますが、
いったんLやx,y が整数であることは忘れて、
x=31L-10m >0 かつ　y= -65L+21m >0 となるような、実数Lの範囲を求めると
(10/31)m < L < (21/65)m …(1)

m≧2016のとき(21/65)m-(10/31)m＞1なので(1) の中には、整数Lが１つ以上ある。

そのような整数Lを取ると x=31L-10m,y=-65L+21m は、ともに正の整数（１以上の整数）になる。

ということですね。

最初からx,y が１以上の整数としてしまうとLの幅が狭くなってその範囲幅は１より大きくならないこともある。（だからといって整数値をとり得ないとは限らない）ということですね。

もっと分かり易い説明や解法があれば、どなたかお願いします。

ところで出典（著者）は何ですか？
　
No.82581 - 2022/06/27(Mon) 19:52:10
☆ Re: 条件の十分性について / ちくわ
丁寧な回答ありがとうございます。出典は真解法への道(箕輪浩嗣)です。
No.82582 - 2022/06/27(Mon) 20:08:51
☆ Re: 条件の十分性について / ちくわ
また追加の質問になり申し訳ないのですが、今回の問題のように条件を緩くしてみる(そうしても良い場合)と言ったことは解法の一つとして持っておくべきなのでしょうか？
No.82583 - 2022/06/27(Mon) 20:33:41
☆ Re: 条件の十分性について / IT
質問への直接の回答ではないですが、この種の問題の場合下記の事実を使うのが良さそうです。

自然数a,bが互いに素であるとき、　整数m≧abについて　
m=ax+by を満たす0以上の整数x,yが存在する。
　（特に、m＞abの場合は正整数x,yが存在する。）

（証明）
a,bが互いに素より、as+bt=m…(1) なる整数s,tが存在する。
tをaで割った余りをr(0≦r＜a)とすると、t=aq+r。
(1)に代入,as+b(aq+r)=m
∴　a(s+bq)+br=m
ここで0≦br＜ab≦m なのでs+bq＞0

　x=s+bq,y=r とすればm=ax+by。

m＞abの場合は、x＞0、y＞0が取れることはご自分で確認してください。

本問の場合、65×31＝2015、(65,31)=1なので上記が使えます。
No.82585 - 2022/06/27(Mon) 21:58:46
☆ Re: 条件の十分性について / IT
「条件を緩くしてみる」ということか分かりませんが
整数問題の場合の不等式については、そういう場合もあるかも知れません。
No.82586 - 2022/06/27(Mon) 22:05:24
☆ Re: 条件の十分性について / ちくわ
とても丁寧に回答していただきありがとうございました。とてもよく理解することができました。
No.82587 - 2022/06/27(Mon) 22:11:21