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記事No.82603に関するスレッドです
★ 定積分の極限 / ぐっち
つぎの問題の最後の問がどうしてもわかりません。
ご教授ください。テイラー展開がわかるくらいの知識は持っています。
(2)は1
(3)はa=1/3，b=-13/90
だと思うのですが、間違っていたら訂正お願いします。
No.82595 - 2022/06/29(Wed) 02:44:38
☆ Re: 定積分の極限 / ast
(2) は極限と積分を交換してよいならば明らかに = ∫_[0,1] dx = 1 ですが, 交換してよいかは検証していないので本当に良いのかは知らない.
(3) はなんか違う気はするけど, 結果だけ書かれても確認する気はしないので a,b のまま話を進めることにして (4) は, 積分区間内の任意の x について n が十分大きければ x^n がいずれも 0 に近いので, 被積分函数は (3) の近似をそのまま積分区間全体で適用して
　　∫_(0,1] (-log(sin(x^n)/x^n)^(1/n)dx = ∫_(0,1] (ax^(2n)+bx^(4n)+O(x^(6n)))^(1/n)dx
　 = ∫_(0,1] (ax^(2n))^(1/n) * (1+(b/a)x^(2n)+O(x^(4n)))^(1/n) dx
　 = a^(1/n)∫_(0,1] x^2(1+(b/a)x^(2n)/n +(1/n)O(x^(4n))) dx
　 = a^(1/n)∫_(0,1] x^2+(b/an)x^(2n+2)+(1/n)O(x^(4n)) dx
　 = a^(1/n) [1^3/3+(b/an)1^(2n+3)/(2n+3) +O(n)]
　 → 1 * [1/3+0 + 0] = 1/3
みたいな話になるのかな?
# n を十分大きくとる時点で極限を先にやってる感じがあるが, 有限な値で止めているつもりなので
# いいはず (たぶん).
## 二項展開 (1+x)^α = 1+αx+… で x のところを x^n で置き換える, あるいは x+O(x^2) で置き換える
## といったようなことをやっているあたりの誤差項のオーダーがあれでいいのかどうかは
## よくわかってないまま書いてるので厳密性は全然足りてないと思う.
No.82597 - 2022/06/30(Thu) 02:09:42
☆ Re: 定積分の極限 / ぐっち
(2)は上に上界で単調関数なので収束が言えることから積分と極限を入れ替えてもよい、として答えを出しました。
(3)はlog(1+Z)=Z-(1/2)Z^2[マクロ―リン展開]のZ=sinx/xとして，さらにsinxの部分に
sinx=x-(1/3)x^3+…を入れて計算しました。
(4)なんですが、astさんの指摘で、わかった気がします。
x^nの0<x<1(問題文にx≠1とあるので)なのでn➝∞の極限でx^n➝0なので近似が使えて、
∫_(0,1] (-log(sin(x^n)/x^n)^(1/n)dx
=∫_(0,1) (ax^(2n)+bx^(4n)+O(x^(6n)))^(1/n)dx
=∫_(0,1)ax^(2n/n)(1+(b/a)x^(2n)+O(x^(4n)))^(1/n)
で(b/a)x^(2n)+O(x^(4n))=Aと見たら確かに一般二項定理が使えるので解けそうです。ご指摘ありがとうございます。
No.82602 - 2022/06/30(Thu) 18:08:36
☆ Re: 定積分の極限 / ぐっち
(2)は上に上界で単調関数なので収束が言えることから積分と極限を入れ替えてもよい、として答えを出しました。
➝うそでした。自分が解いたの確認しました。
∫_(0,∞)[sin(x^n)/x^n]dx
=∫_(0,1)[sin(x^n)/x^n]dx+∫_[1,∞)[sin(s^x)/x^n]dx
　　　　　?@　　　　　　　　　　　?A
?@で，x^n➝0よりsin(x^n)/x^n➝1に収束するので（※）積分と極限の順序を入れ替え可能で
lim?@=∫_(0,1)lim[sin(x^n)/x^n]dx=∫_(0,1)・1dx＝1

?A≦∫_[1,∞)[1/x^n]dx
＝[x^(-n+1)/(-n+1)](1,∞)
＝(1/∞)^(n-1)-1/(-n+1)→0

ゆえ、求める値は　1+0＝1
としました。

※は以下の事実を参考にしました。
No.82603 - 2022/06/30(Thu) 18:43:51
☆ Re: 定積分の極限 / ぐっち
自分で書いていてなんなのですが、x^nの0<x<1(問題文にx≠1とあるので)なのでn➝∞の極限でx^n➝0なので近似が使えて、というところは(1)だけだと思うので当てはまらないですよね。
x：[1-イプシロン,1]のときのlog(x^n/sin(x^n))^(1/n)＝[log(1/sin1)]^(1/n)→1で，
∫_(1-イプシロン,1]log(x^n/sin(x^n))^(1/n)dx→イプシロン
なので，x：[1-イプシロン,1]のときの積分値は無視できる、ということでいいのではないかと今は考えています。
No.82607 - 2022/06/30(Thu) 19:08:15
☆ Re: 定積分の極限 / ast
ああ, 積分の上端 1 の方は気にしていませんでした, すみません.
# どのみち 1 点での値は (積分が有限値なら) 積分値に寄与しないのでいいはず.(ホントか…?)

(3) がおかしいというのは問題文で a,b ともに正にとれることを言えと書かれてるのにぐっちさんの b がマイナスだったからです.
> (3)はlog(1+Z)=Z-(1/2)Z^2[マクロ―リン展開]のZ=sinx/xとして，さらにsinxの部分に
> sinx=x-(1/3)x^3+…を入れて計算しました。
ということであれば, 方法論はそんな感じでいい (展開する次数もそのくらいで大丈夫かな, たぶん) とは思いますが, それにしたっても sin(x)/x=1+Z として log(1+Z) の展開に入れるので, Z=sin(x)/x では合わないと思います.
参考: -log(sin(x)/x) の展開 (WolframAlpha)
No.82610 - 2022/06/30(Thu) 20:12:12
☆ Re: 定積分の極限 / ぐっち
>sin(x)/x=1+Z として log(1+Z) の展開に入れるので, >?>Z=sin(x)/x では合わないと思います.
ああ、うっかりしてました。やりかた自体はまずくないと思うので、それでやってみます。参考のページありがとうございます。とても助かりました。
No.82617 - 2022/07/01(Fri) 18:19:52