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記事No.82626に関するスレッドです
★ ベクトル / Nao
添付の2問がわかりません。
解答解説がなく、正答がわからず、どなたか途中式含め正答をお教えいただけないでしょうか。
No.82626 - 2022/07/02(Sat) 23:28:11
☆ Re: ベクトル / IT
（４）の大まかな流れ（x,y,z>0 などの条件は記述を略してます）
2/x+1/y+1/z=1 よりx=2yz/(yz-(y+z))
∴w=2yz/(yz-(y+z))+y+z

yzが一定のときy+zが最小となるのはy=zのときなので
wが最小となるのはy=zのときで
w=2y^2/(y^2-2y)+2y=4/(y-2)+2(y-2)+6
これが最小となるのはy-2=√2のとき（∵相加相乗平均の関係）
すなわちy=2+√2のとき・・・

これもベクトルの応用問題で下のXさんの解法が良いですね。
No.82629 - 2022/07/03(Sun) 06:13:46
☆ Re: ベクトル / X
(4)の別解
条件から
↑a=(√x,√y,√z)
↑b=(√(2/x),1/√y,1/√z)
なる↑a、↑bを置くことができます。
このとき
(|↑a||↑b|)^2≧(↑a・↑b)^2
(不等号の下の等号は↑a//↑bのとき成立 (P))
∴(x+y+z)(2/x+1/y+1/z)≧(√2+2)^2 (A)
(A)に
2/x+1/y+1/z=1 (B)
を代入すると
x+y+z≧6+4√2
∴x+y+zの最小値は6+4√2
このとき(P)より
↑a=k↑b (kは0でない定数)
と置くことができるので
√(2/x)=k√x (C)
1/√y=k√y (D)
1√z=k√z (E)
(B)(C)(D)(E)を連立して解き
(x,y,z)=(2+2√2,2+√2,2+√2)
No.82630 - 2022/07/03(Sun) 07:22:52
☆ Re: ベクトル / Nao
ITさま、Xさま

ありがとうございます！
ご丁寧な解説のお陰で(4)は理解できました。

(3)は相変わらず自力では解くことができません。。
同様に解法、正答をお教えいただけると助かります。

どうぞ宜しくお願いいたします。
No.82634 - 2022/07/03(Sun) 14:30:54