[ 掲示板に戻る ]
記事No.82706に関するスレッドです
★ 二重積分 / グリーンの定理
グリーンの定理を用いてこの二重積分解くにはどうしたらいいでしょうか？
No.82706 - 2022/07/09(Sat) 13:02:01
☆ Re: 二重積分 / X
∂Q/∂x-∂P/∂y=x^2+2y^2
を満たすP(x,y),Q(x,y)として
P=-(2/3)y^3
Q=(1/3)x^3
を選ぶと、グリーンの定理により
(与式)=∫[C]{Pdx+Qdy}
=∫[C]{{-(2/3)y^3}dx+{(1/3)x^3}dy}
(但しC:x^2+y^2=4で積分路の向きは反時計回り)
=∫[θ:0→2π]{{(2/3)(2sinθ)^3}(2sinθ)
+{(1/3)(2cosθ)^3}(2cosθ)}dθ
=(1/3)∫[θ:0→2π]{2(2sinθ)^4+(2cosθ)^4}dθ
=(1/3)∫[θ:0→2π]{8(1-cos2θ)^2+4(1+cos2θ)^2}dθ
=(4/3)∫[θ:0→2π]{3-2cos2θ+3(cos2θ)^2}dθ
=(4/3)∫[θ:0→2π]{3-2cos2θ+3/2+(3/2)cos4θ}dθ
=12π
No.82707 - 2022/07/09(Sat) 17:23:09
☆ Re: 二重積分 / グリーンの定理
ありがとうございます
No.82708 - 2022/07/09(Sat) 18:10:03