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記事No.82745に関するスレッドです
★ (No Subject) / 高一
定点(0,4)と任意の点Pを結ぶ線分の垂直二等分線と、y＝x^2のグラフの交点の数をPの位置によって場合分けしろという問題が分かりません。教えてください。
No.82739 - 2022/07/13(Wed) 18:37:12
☆ Re: / IT
（概略）
P(s,t) とする。
定点A(0,4)と任意の点Pを結ぶ線分の垂直二等分線を
L：y=ax+b とする。（y軸に平行な場合は別に考える）
Lとy＝x^2のグラフの交点（共有点）の数は

x^2-ax-b=0 の判別式D＞0のとき2個、D＝0のとき１個、D＜0のとき0個。
D=a^2+4b

線分APとLは直交するので　a(t-4)/s =-1
線分APの中点(s/2,(t+4)/2) はL上の点なので　(t+4)/2=as/2+b
∴a=s/(4-t),b=(t+4)/2-as/2
これを判別式に代入
なおD＝0となるのは下図のとおりのようです。
No.82745 - 2022/07/14(Thu) 20:38:09
☆ Re: / IT
D＝0となるのは図の赤線です。
No.82746 - 2022/07/14(Thu) 20:56:43
☆ Re: / 高一
判別式に代入するところまでは軌跡の要領で理解出来たのですがその後の計算がよく分かりません。グラフの形も歪ですし、高校数学で扱える代物なのでしょうか？具体的な計算方法を教えて下さるとありがたいで
No.82747 - 2022/07/15(Fri) 10:21:08
☆ Re: / IT
出典は何ですか？

出来たところまで書き込んでみてください。
No.82752 - 2022/07/15(Fri) 18:52:15
☆ Re: / ヨッシー
途中は省略しますが、Ｄ＝０となる点は、
実数ｓに対して、
　(x, y)＝（(2s^3＋8s)/(4s^2＋1), 15s^2/(4s^2＋1)）
と表される点です。
No.82757 - 2022/07/15(Fri) 21:20:28
☆ Re: / IT
ヨッシーさん＞
>　(x, y)＝（(2s^3＋8s)/(4s^2＋1), 15s^2/(4s^2＋1)）
だと原点を通りますが、実際は原点は通らないのでは？
No.82761 - 2022/07/15(Fri) 22:14:59
☆ Re: / らすかる
y=x^2の接線はy=2tx-t^2
これに直交して(0,4)を通る直線はx+2ty=8t
2直線の交点は((2t^3+8t)/(4t^2+1),15t^2/(4t^2+1))なので
接線に関して(0,4)と対称な点は
((4t^3+16t)/(4t^2+1),(14t^2-4)/(4t^2+1))
これがD=0となる点ですね。
(追記)
tを消去してxとyの式にすると
(7-2y)x^2=2(y+4)(y-4)^2
となります。
No.82763 - 2022/07/16(Sat) 00:35:01
☆ Re: / ヨッシー
あ、私のその式は、(0,4) と点Ｐの中点の座標でした。
Ｐの座標は、中点を２倍して(0, 4)を引かないといけないのでした。
No.82798 - 2022/07/18(Mon) 19:43:22