数学IIの問題です。
どなたかご教授願います。
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No.82792 - 2022/07/18(Mon) 06:34:49
| ☆ Re: 微分 積分 / X | | | 方針を。
条件から
f'(x)=6x^2-6ax=6x(x-a)
∴0≦x≦1における増減表により
(i)a≦0のとき
f(x)は
最小値f(0)=b
最大値f(1)=2-3a+b
を取るので
0≦b,2-3a+b≦1
しかし、これらを満たす(a,b)
の組は存在しないので不適。
(ii)0＜a≦2/3のとき
f(x)は
最小値f(a)=-a^3+b
最大値f(1)=2-3a+b
を取るので
0≦-a^3+b,2-3a+b≦1
(iii)2/3＜a≦1のとき
f(x)は
最小値f(a)=-a^3+b
最大値f(0)=b
を取るので
0≦-a^3+b,b≦1
(iv)0＜a≦1のとき
f(x)は
最小値f(1)=2-3a+b
最大値f(0)=b
を取るので
0≦2-3a+b,b≦1
しかし、これらを満たす(a,b)
の組は存在しないので不適。
以上を整理して、条件のとき
0＜a≦2/3かつb≧a^3かつb≦3a-1
又は
2/3＜a≦1かつb≧a^3かつb≦1
そこで横軸にa,縦軸にbを取って
上記を満たす領域(Dとします)
を図示します。
次に
∫[0→1]f(x)dx=k
と置くと
1/2-a+b=k
∴b=a+k-1/2 (A)
これは横軸にa,縦軸にbを取った
座標平面では直線を表します。
後は直線(A)がDと交点を持つような
kの値の範囲を、Dの上に直線(A)を
描いた上で求めていきます。
こちらの計算では
最小値は1/2-(2/9)√3
(このとき(a,b)=((1/3)√3,(1/9)√3))
最大値は5/6
(このとき(a,b)=(2/3,1))
となりました。
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No.82794 - 2022/07/18(Mon) 06:59:22 |
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