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記事No.82989に関するスレッドです
★ 微分方程式です。 / 山足達也
この微分方程式なのですが、どのように解いたらいいでしょうか??
No.82989 - 2022/08/01(Mon) 13:46:20
☆ Re: 微分方程式です。 / 関数電卓
教科書をお持ちではありませんか？
お持ちではないのなら，「２階常微分方程式，非同次」で検索するといくつかヒットしますので，それらをご覧下さい。例えば こちら の<例題３,４,５>など。
お尋ねの答は， こちら。
No.82990 - 2022/08/01(Mon) 16:48:03
☆ Re: 微分方程式です。 / GandB
　i(t) ？
　電流が絡んだ問題かね？　だったら、初期値を与えて特殊解を求める問題になりそうなものだが。

　説明がないので画像を見る限り
　　i''+ 2i' + 5i = 10cos(t)
のようにしか見えない。i を x とか y に変えても支障はなさそうだけど。であれば演算子法で解くのが簡単。虚数単位 i を使うので与えられた微分方程式を
　　y''+ 2y' + 5y = 10cos(t) …… (1)
と書き変える。
　　y''+ 2y' + 5y = 0
の解 y0 を解くのは簡単で
　　y0 = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) )

　演算子法の公式
　　e^iat/φ(D) = e^iat/φ(ia) …… (2)
を使うために(1)の右辺を 10e^it とする。
　(1)の特殊解を v とすると
　(D^2+2D+5)v = 10e^it
　(2)を使って
　　10e^it/(D^2+2D+5)
を計算すると
　　2cos(t) - icos(t) - 2isin(t) + sin(t)
となるから虚数を捨てて
　　v = 2cos(t) + sin(t)
　したがって求める(1)の一般解は
　　y = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) + 2cos(t) + sin(t)

　勘違いしていたらごめん(^^;)
No.82991 - 2022/08/01(Mon) 17:29:15