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記事No.83530に関するスレッドです
★ 図形問題　２問お願いします。 / こう(中３）
　（中３）問題です。
　図のように、平行四辺形ABCDの辺BC、CDを１辺とする正三角形BECと正三角形CFDをつくる。また、点Aと点E、点Fをそれぞれ結び、AEとBC、AFとCDの交点をそれぞれG、Hとする。
(1)　∠EAFの大きさを求めよ。
(2)　AG=FHで、平行四辺形ABCDの面積が24のとき、△ABEの面積を求めよ。

　解説よろしくお願いします(^_^)
No.83530 - 2022/10/02(Sun) 16:04:53
☆ Re: 図形問題　２問お願いします。 / X
(1)
条件から
∠ABC=∠ADC
∠CBE=∠CDF=60°
よって
∠ABE=∠ABC+∠CBE
=∠ADC+∠CDF
=∠ADF (A)
又
AB=CD=DF (B)
BE=BC=AD (C)
(A)(B)(C)から
△ABE≡△ADF (P)
となるので
∠AEB=∠DAF (D)
又、△ABEにおいて
∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°
∠ABC+∠EBC+∠AEB+∠BAE=180°
∠ABC+60°+∠AEB+∠BAE=180°
となるので
∠ABC+∠AEB+∠BAE=120°(E)
一方、ADのDとは反対側の延長線と辺ABとの
なす角をxとすると
x+∠BAE+∠EAF+∠DAF=180°(F)
で錯角により
x=∠ABC (G)
(D)(G)により(F)は
∠ABC+∠BAE+∠EAF+∠AEB=180° (F)'
(F)'-(E)より
∠EAF=60°

(2)
(P)により
AB=DF (G)
∠BAE=∠DFA (H)
更に条件から
AG=FH (I)
(G)(H)(I)より
△ABG≡△DFH
なので
∠ABC=∠CDF=60°(J)
よって
∠ABE=∠ABC+∠CBE=120° (K)
更に(J)と平行四辺形ABCDに注目すると
∠BAD=180°-∠ABC=120° (L)
(K)(L)と条件から
△ABE≡△BAD
よって△ABEの面積は
平行四辺形ABCDの面積の1/2
なので、求める面積は
24/2=12
No.83531 - 2022/10/02(Sun) 17:10:11
☆ Re: 図形問題　２問お願いします。 / ヨッシー
(1)
△ＡＢＥ≡△ＦＤＡ　は自明とします。
さらに、△ＦＣＥを考えると、
　∠ＦＣＥ＝360°−∠ＤＣＢ−2×60°＝240°−∠ＤＣＢ
一方
　∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＋60°＝(180°−∠ＤＣＢ)＋60°＝240°−∠ＤＣＢ
よって、
　∠ＥＣＦ＝∠ＡＢＥ
これと、
　ＡＢ＝ＤＣ＝ＦＣ、ＢＥ＝ＣＥ
から
　△ＦＣＥ≡△ＡＢＥ
よって、△ＡＥＦは正三角形となり
　∠ＥＡＦ＝60°

(2)

△ＡＢＥを線分ＢＧとともに、△ＦＤＡに重ねると、
　∠ＥＢＧ＝∠ＦＤＨ＝60°
であり、ＧとＨは一般には重なりません。
これが重なると言うことは、
　∠ＡＤＣ＝60°
であるということです。
このとき、この図は、

このように、Ｄ−Ｃ−Ｅが一直線になります。
△ＡＢＥは等積変形で△ＡＢＣに重なるので、
その面積は平行四辺形ＡＢＣＤの半分で、12 となります。
No.83532 - 2022/10/02(Sun) 22:06:38
☆ Re: 図形問題　２問お願いします。 / こう(中３）
ありがとうございました(^_^)
No.83533 - 2022/10/02(Sun) 22:54:40