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記事No.83838に関するスレッドです
★ (No Subject) / ふぇう
(中3）
自分で問題を作っていたのですが、数値設定で行き詰ってしまったのでお力をお借りしたいです。

次の二つの式が同時に有理数となるような実数nってありますか？
No.83838 - 2022/11/10(Thu) 17:45:16
☆ Re: / IT
n=0 以外ですよね。
No.83839 - 2022/11/10(Thu) 18:27:01
☆ Re: / IT
ないようですね

両者が0でない有理数と仮定すると
変形すると
n=(p/q)√2 = (s/t)√3 ,p/qとs/tは既約分数と書けて

両辺２乗すると　(p^2)(t^2)2=(s^2)(q^2)3
両辺の素因子2の偶奇が一致しないので矛盾
No.83840 - 2022/11/10(Thu) 18:41:12
☆ Re: / らすかる
差が(2√2)nなので、同時に有理数になるのはn=0のみです。
No.83841 - 2022/11/10(Thu) 19:53:01
☆ Re: / IT
らすかる さん
＞差が(2√2)nなので・・・
もう少し説明が必要ではないでしょうか？
No.83842 - 2022/11/10(Thu) 20:12:07
☆ Re: / らすかる
二つの有理数の差が無理数になることはないので、十分では？
説明を追加するとしても
「√2は無理数」
「無理数の有理数(除0)倍は無理数」
「有理数と有理数の差は有理数」
ぐらいだと思いますが、これらを既知としてはまずいということでしょうか。
というか、この質問は
「次の二つの式が同時に有理数となるような実数nがあるか？」
という問題を解いて欲しいわけではなく、単に自作問題の作成途中で
数値設定に困ったけど、両方有理数にすることはできないか？という
質問だと思いましたので、きちんとした証明は不要に思えました。
No.83843 - 2022/11/10(Thu) 21:11:32
☆ Re: / IT
＞差が(2√2)nなので・・・
＞二つの有理数の差が無理数になることはないので、十分では？
n=√2のとき　(2√2)n=4 有理数です。
もちろんこのときn(√3 + √2）、n(√3 - √2）どちらも無理数なのでダメですが。
No.83844 - 2022/11/10(Thu) 21:24:43
☆ Re: / らすかる
あ、ごめんなさい。ちゃんと読んでいませんでした。
nは整数と思い込んでいました。
大変失礼しました。
No.83845 - 2022/11/10(Thu) 21:34:49
☆ Re: / らすかる
では訂正です。
n≠0のとき2数の比が
{n(√3+√2)}/{n(√3-√2)}=5+2√6なので
両方とも有理数となることはありません。
No.83846 - 2022/11/10(Thu) 21:37:28
☆ Re: / IT
＞n≠0のとき2数の比が・・
それだと早いですね。
No.83847 - 2022/11/10(Thu) 21:40:30
☆ Re: / ふぇう
ありがとうございます
問題の数値設定ですので、ないことが分かっただけでありがたいです
皆さんありがとうございます。
No.83888 - 2022/11/14(Mon) 23:04:40