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記事No.83906に関するスレッドです
★ 等式の証明 / ゆ
この等式が成り立つことを証明してください。よろしくお願いします。
No.83906 - 2022/11/16(Wed) 13:40:04
☆ Re: 等式の証明 / 関数電卓
　I＝∫(0,∞)(x/(e^x−1))dx
1−e^(−x)＝u と置くと，x∈(0,∞) ⇔ u∈(0,1), x＝−log(1−u), dx＝du/(1−u)
∴ I＝…＝−∫(0,1)(log(1−u)/u)du
　　＝∫(0,1)(1＋x/2＋x^2/3＋…)du
　　＝1＋1/2^2＋1/3^2＋…
　 (＝π^2/6)
No.83913 - 2022/11/16(Wed) 18:45:04
☆ Re: 等式の証明 / ast
1/n^2 = ∫_[0,∞] xe^(-nx) (n=1,2,…) を示して辺々加え (, 右辺は無限和と積分を順序交換す) る.
No.83914 - 2022/11/16(Wed) 18:57:51