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記事No.83915に関するスレッドです

ランダウの記号 / あい
ランダウの記号の問題です。申し訳ございません。6問と多いですが、どうしても答えが分からないので過程とともに教えてもらてないでしょうか。何がどう分からないかと言われると困ってしまい、何も分からないという状態です。参考資料ではランダウの記号の意味しか読み取れませんでした。答えと過程を教えてもらい、この問題や類題を解けるようになりたいです
No.83915 - 2022/11/16(Wed) 19:42:13

Re: ランダウの記号 / ast
資料には定義をどういう述べ方で記述してありますか? 例えば 1. は 「lim (2x+1)/x (as x→0) を求めよ」というのと本質的に (少なくとも計算レベルでは) 変わらないはずですが (その結果をオーダーの定義に照らして判定すればいいので).

> 参考資料ではランダウの記号の意味しか読み取れませんでした。
むしろ, ここはその意味が読み取れたなら十分な場面だと思いますが……. (というか, わからないということは (数学的な意味では) 実質的に読み取れていないのでは? と感じます)

No.83916 - 2022/11/16(Wed) 20:23:13

Re: ランダウの記号 / あい
> 定義はどう書いてありますか? 例えば 1. は 「lim (2x+1)/x (as x→0) を求めよ」というのと本質的に (少なくとも計算レベルでは) 変わらないはずですが (その結果をオーダーの定義に照らして判定すればいいので).
>
> > 参考資料ではランダウの記号の意味しか読み取れませんでした。
> むしろここは, 意味が読み取れたなら十分な場面だと思いますが……. (というか, わからないということは (数学的な意味では) 読み取れていないのでは? と感じます)



問題に定義は書かれていませんでした。ランダウ記号の意味だけで、この問題の解き方も答えも分からないので教えてもらえないでしょうか

No.83917 - 2022/11/16(Wed) 20:36:56

Re: ランダウの記号 / IT
>ランダウ記号の意味だけで
横から失礼します。それを「定義」というのではないかと思いますが、どのように書いてありますか?
その問題集に「定義」が書いてなければ、講義のテキストに書いてあるか講義で説明されたのではないですか?

No.83918 - 2022/11/16(Wed) 21:25:28

Re: ランダウの記号 / あい
説明はこれだけしかありませんでした
No.83919 - 2022/11/16(Wed) 21:29:08

Re: ランダウの記号 / IT
1〜6 それぞれ 上記の条件を満たす適当な定数cとx[0] を見つけて、上記の条件を満たすことを示せば良いのでは?

少なくとも1,2は簡単に見つかると思いますが

No.83920 - 2022/11/16(Wed) 21:54:24

Re: ランダウの記号 / あい
ありがとうございます。しかしこれだけで解けなかったので、過程と答えを教えて貰えないでしょうか。いかつすぎてわけわからないです
No.83921 - 2022/11/16(Wed) 21:57:59

Re: ランダウの記号 / IT
少なくとも1,2は簡単に見つかると思いますが
No.83922 - 2022/11/16(Wed) 21:59:32

Re: ランダウの記号 / ast
定義書いてありますね.
「任意の x≥x_0 に対して f(x)≤c×g(x) であること」
が定義, それを平易な表現にしたのが「x が十分大きければ〜定数倍以下に抑えられる」(これらの表現はいわゆるε-δ論法の典型的なものでもありますし, その意味が "f(x) と g(x) の比の極限" に関する条件だと認識することが「(数学的な意味で) 読み取れた」に相当すると考えます).

あとすみません, "x が十分大きければ" だからどうやら "as x→∞" が暗黙の諒解として省略された前提のようですね.
# "as x→0" も暗黙の諒解としてよくあるシチュエーションなので, 上ではそう誤認していました.
## 一般には "as x→?" の `?' の部分をいろいろにとったオーダーも考え得るので, たいていその旨明記します.
## また例えば, 特に自然数 n を変数にする (数列のオーダーを考える) ときの "O(n)" などは "as n→∞" 以外はまずないと思います.

本問において何をすべきかは No.83916 ですでに書いています (極限の行き先は訂正します) ので, とりあえずは繰り返しません.

No.83923 - 2022/11/16(Wed) 22:00:11

Re: ランダウの記号 / IT
> ありがとうございます。しかしこれだけで解けなかったので、過程と答えを教えて貰えないでしょうか。

ちゃんとしたことは、ast さんのアドバイスなどを熟読していただくとして、この問題をなんとか解くだけなら

No.83919の条件を満たすc、 x[0]を見つける。(いくらでもありますのでてきとうな1組を見つければいいです)

1 例えば、c=3 とおいて y=2x+1 とy=cx のグラフを描いて、 x[0]を見つける。

2 c=4とおいて 1と同様にやる。

3 は c=1 でいいかな

No.83926 - 2022/11/17(Thu) 06:23:34

Re: ランダウの記号 / あい
皆様ありがとうございます。1,2,3の問題は理解し、とくことが出来ました。星のついた難しい問題を解いてみたので合っているか見て貰えませんか。2番と3番は何か違和感を感じる答えになった気がします
No.83927 - 2022/11/17(Thu) 11:42:22

Re: ランダウの記号 / IT
2 大学数学でLOGの底が省略されているときは10ではなくてe(自然対数)では?

あえて c=1/10 とか 1/e とかにしなくて c=1 でいいのでは?

また、不等式が成り立つことを微分法で増減を調べるなどして示す必要があると思います。

(1 は、 x≧2で x(x-2)≧0で良いと思いますが)

No.83929 - 2022/11/17(Thu) 22:41:28

Re: ランダウの記号 / あい
ありがとうございます。不等式が微分法で増減を調べるということはやったことがないので、調べてやってみます
No.83934 - 2022/11/18(Fri) 00:29:37