この問題の答えを
途中式も一緒に教えていただきたいです！
よろしくお願い致します。
![]() |
No.84044 - 2022/11/27(Sun) 16:06:00
| ☆ Re: 大学数学 微分積分 / X | | | (1)
条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π}
ヤコビヤンがrになることに注意して
(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→1](r^3)drdθ=…
(2)
この問題、実は
極座標変換を用いて
という条件がなければ
x=arcosθ
y=brsinθ
と変換することで(1)と同程度の難易度の計算になり、
比較的簡単に計算できます。
ですが、問題の条件通り極座標に変換して計算すると
かなり面倒です。
条件から極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(bcosθ)^2+(asinθ)^2},0≦θ≦π/2}
変換後にθについての積分がし易いように、もう少し変形すると
D={(r,θ)|0≦r≦ab/√{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2},0≦θ≦π/2}
ヤコビヤンがrになることに注意すると
(i)a=bのとき
D={(r,θ)|0≦r≦a,0≦θ≦π/2}
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→a](r^2)cosθdrdθ=(1/3)a^3
(ii)a≠bのとき
(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→ab/√{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2}](r^2)cosθdrdθ
=(1/3)∫[θ:0→π/2]{{(ab)^3}(cosθ)/{(a^2-b^2)(sinθ)^2+b^2}^(3/2)}dθ
ここでsinθ=tと置くと
(与式)=(1/3)∫[t:0→1]{{(ab)^3}/{(a^2-b^2)t^2+b^2}^(3/2)}dt
ここから更に
(I)a＞bのとき
(II)a＜bのとき
で場合分けをすると
(I)のとき
(t/b)√(a^2-b^2)=u
と置くと
(与式)=(1/3)(a^3)∫[t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]{1/(u^2+1)^(3/2)}{b/√(a^2-b^2)}du
=(1/3)(a^3){b/√(a^2-b^2)}[u/(u^2+1)^(1/2)][t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]
=(1/3)(a^3){b/√(a^2-b^2)}{(1/b)√(a^2-b^2)}/(a/b)
=(1/3)ba^2
(II)のとき
(t/b)√(b^2-a^2)=u
と置くと
(与式)=(1/3)(a^3)∫[t:0→(1/b)√(a^2-b^2)]{1/(1-u^2)^(3/2)}{b/√(b^2-a^2)}du
=(1/3)(a^3){b/√(b^2-a^2)}[u/(1-u^2)^(1/2)][t:0→(1/b)√(b^2-a^2)]
=(1/3)(a^3){b/√(b^2-a^2)}{(1/b)√(b^2-a^2)}/(a/b)
=(1/3)ba^2
以上から
(与式)=(1/3)ba^2
注)
上記の計算過程で
∫du/(u^2+1)^(3/2)=u/(u^2+1)^(1/2)+C
∫du/(1-u^2)^(3/2)=u/(1-u^2)^(1/2)+C
(Cは積分定数)
を使っていますが、これの計算過程は
敢えて伏せてあります。
これはご自分で考えてみて下さい。
(そうでないと計算の練習になりません)
ヒントは
∫du/(u^2+1)^(1/2),∫du/(1-u^2)^(1/2)
から、部分積分を使って
∫du/(u^2+1)^(3/2),∫du/(1-u^2)^(3/2)
をひねり出す、とだけ書いておきます。
（教科書などに似たような計算方針の例題
があると思いますので、それを参考にしてみて
下さい。)
|
No.84048 - 2022/11/27(Sun) 22:21:31 |
|
