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記事No.84110に関するスレッドです

面積 / 高校3年
今日学校の問題で、次を扱いました。
曲線y=|x(4-x)|, x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれた図形Dの面積を求めよ。
東北の方の私立大の問題です。

解答では、考える領域は、0≦x≦4の部分にある図形分の面積も入っていて、答えは p^3/3-2p^2+64/3。
しかし、ここにとても違和感があります。
0≦x≦4の部分の図形はx=pが絡んでいません。

曲線y=|x(4-x)|, x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれたと言われたら、当然3つが絡むところでしょうから、4≦x≦pの部分の面積だけにはなりませんか。
なぜy=|x(4-x)|, x軸だけにしか囲まれていないところの面積も足す必要があるのでしょうか。

「囲む」という定義があいまいなので分かりません。
自分でできる限り調べましたが「囲む」とは大学数学の「連結」と何か関係があるのかなとも思いました。
しかし、自分には何が書いてあるかさっぱりでした。

まとまりのない文章ですみません。

どうぞよろしくお願いいたします。

No.84107 - 2022/11/30(Wed) 21:53:35

Re: 面積 / らすかる
私も「4≦x≦pの部分だけ」という認識です。
x=pがかかわらない領域も含めるのは違和感があります。
しかしそれを除いてもちょっと変な問題ですね。なぜなら、最初から曲線は
y=|x(4-x)|とする必要はなく、
「4≦x≦pの部分だけ」だとしても
「0≦x≦4の部分も含む」としても、
いずれにしても絶対値は不要で、y=x(x-4)で十分です。
絶対値を付けてy=|x(4-x)|にして答えが変わるとは思えません。
わざわざ混乱させるための絶対値なのでしょうか。
あるいは、もしかしたら
「y=x(x-4)とx軸とx=p>4で囲まれた図形」
ならば「4≦x≦pの部分だけ」
「y=|x(4-x)|とx軸とx=p>4で囲まれた図形」
ならば「0≦x≦4の部分も含む」
という考え方なのでしょうかね?
(前者は曲線とx軸が交差しているが、後者は接しているだけだから、という理由で)
もしそうだとしても、「交差しなければ隣の領域も含む」と考えると
x≦0の範囲も考えることになっておかしなことになりますので、やはり
その考え方も変ですね。

とてもうろ覚えなのですが、遠い昔にそのような状況がある問題を見たような気がします。
そのときはもちろん、囲むものすべてがかかわる部分だけだったと思います。

結論:私は、「問題不備」だと思います。

No.84108 - 2022/12/01(Thu) 00:03:18

Re: 面積 / ast
問題のもともとの出典をハッキリ言ってもらった方が安心できそうですが (出所をボカされるとこっちから調べようにも限りがあるので), 質問にある問題はもとの内容から改変 (一部だけ切り出しとか) されてそうな印象を受けます (結構強くそう思う). もしそういったことがあるなら問題の全体をきちんと提示してください, 全体を把握したら文の意味合いが思っていたのと違ったということは十分起こり得ることなので.

で, もちろん私個人の感覚ですが,「(曲線たちが)囲む領域」というのは「それらの曲線を境界にもつ有界領域」という解釈が大抵の場合は自然だと思います.
# (これなら, 一部の曲線が接しない領域も含めるのは不自然ではないはずですし
# もちろん非有界領域は絶対に関わってきません).
まあ, そうでない解釈を妨げるつもりはない (「囲む」というのが (融通の利かない専門用語の類いではなく) 柔軟な日常語的表現であるとは認識している) ので「大抵の場合は」というところでお茶を濁させてください (用語の曖昧さに対して感覚だよりで当たって言葉遊びになっても詮無いことなので).
# でもたとえば問題文が少し違って
#「曲線 y=x(4-x), x軸および直線 x=-1, x=5 で囲まれた図形」のようなものが訊かれていたら,
#「(全部の曲線が関わる部分はないので)囲まれる部分はない」とか「0≤x≤4の部分は囲まれてない」とか
# と答えるほうが不自然に感じないでしょうか (というか, 私は不自然に感じます).

No.84109 - 2022/12/01(Thu) 04:51:10

Re: 面積 / IT
私はastさんと同じように解釈して解くと思います。
No.84110 - 2022/12/01(Thu) 05:07:19

Re: 面積 / 高校3年
>astさん
ありがとうございます。
「(囲む領域」というのは「それらの曲線を境界にもつ有界領域」という解釈が大抵の場合は自然、これなら, 一部の曲線が接しない領域も含めるのは不自然ではない・・・
というところですが、
となると、問題が
曲線y=x(x-4), x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれた面積であった場合、0≦x≦4の放物線の下側も含むということでよろしかったでしょうか。
それとも、これは「大抵の場合」でない場合でしょうか。
もう少しで分かりそうな、そうでないような。。。
みなさん、考えていただきありがとうございます。

No.84115 - 2022/12/01(Thu) 13:35:39

Re: 面積 / 高校3年
>らすかるさん
交差するしないは確かに僕も考えました。
x=4のところの点はしっかりと交差しきっていないので、そこはいわば「立ち上がった点」と同じ。
一方でx=0のところの点は交差しきっていないものの、「立ち上がった点」と考えてしまうと有界領域にはならないので、いくら交差していなくてもそういった「端」の点は交差点と同様・・・そんな風な解釈なのかなと漠然と思っていました。

No.84116 - 2022/12/01(Thu) 13:40:41