(2)や(3)のような、絶対値がついている場合や三乗の場合の積分範囲の決め方が分かりません。(2)と(3)の積分範囲と、このような問題の積分範囲のいいとり方などがありましたら教えて下さい。よろしくお願い致します。
何度やっても写真が横向きになってしまい申し訳ありません。
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No.84606 - 2023/01/18(Wed) 11:42:35
| ☆ Re: 2重積分 / ast | | | > 絶対値がついている場合
地道に場合分けしてちゃんと領域を図示するしかない.
# 各場合には絶対値が出てこないように (絶対値の定義通りの場合分けで) 分ける.
# (もしそれでも無理というのであれば問題の根源は絶対値の有無ではないということになるし.)
この問題にあるような単純な形で絶対値を用いている例なら「領域は適当な直線に関して対称」という状況が多いはずだから, 分かっている人間なら対称性を意識してサボれる部分は多いだろうが, そうでない人間が地道にやることを忌避したら目も当てられない結果になるだけ.
# べつに WolframAlpha のような機械を使ってはいけないとは言わんが.
# (それでも機械は訊かれたことを訊かれた通りに処理するだけなので, 保証は自分でしないといけないことに変わりはない)
> 三乗の場合
(個別の問題には個別の抜け道もあるかもしれないが, 一般論として) これが二乗などの場合と何が違うと考えているのかよく分からない. ひとつの変数を任意の値で固定したら一変数の不等式の問題を解く話と見なせるし, 一変数の多項式不等式 (一次不等式, 二次不等式, 三次不等式,…) なんて多項式函数の (定義域が制限された場合の) 最大値・最小値の問題と等価 (というのは高校までで十分やってきてるはず) だから, わからないのであればそのあたりの話まで遡って復習しないとダメってだけなんじゃないかな.
### 例えば問題の (3) なら (場合分けをして絶対値のなくなった各場合をみるのは当然だが)
### x=(rcos(θ))^(2/3), y=(rsin(θ))^(2/3) と変数変換すれば cos(θ)^2+sin(θ)^2=1 を通じて処理できる
### というようなことが「個別の問題の個別の抜け道」.
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# あと, これ↓自体はそれ以外のすべての問題も同様だから言うまでもないはずではあるが:
もちろん, 領域を図示できたならその領域を短冊切りや賽の目切りにして何がどこまで変化するのか (境界線がどのような曲線なのかなど) ちゃんと確認する.
# 短冊切りするときには後で積分するほうの文字に対して垂直に無限に細く切る.
# 後で積分する文字を任意の値で固定したときそれに対応する短冊というのは,
# 先に積分する文字に関する一変数の積分範囲そのもの.
# (賽の目切りにするというのは各短冊上では普通の一変数の積分をやることにほかならない.)
積分順序を変更する問題などはこれができていないとふつうは話にならない (複数の領域に分かれたりまたがったりするのをきちんと処理できる自信があるなら図を描くのをサボってもいいけど).
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No.84610 - 2023/01/18(Wed) 13:21:45 |
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