[ 掲示板に戻る ]
記事No.84628に関するスレッドです
★ y=xまわりに回転体の体積 / ともや
pを2以上の自然数とします。第1象限で
x^(1/p)+y^(1/p)=1とx軸とy軸とで囲まれる部分の図形をy=xのまわりに回転させて得られる体積を求めたいのですが、うまく求まりません。
教えてください。

√2/12*π-√2/4*π*∫（1-(1-t^(1/p))^p-t)^2*(-1+(1-t^(1/p))^(p-1)*t^((1/p)-1))dt（t=0から1/(2^p)）

だと思うのですが、積分が実行できません。

ちなみに∫は積分を実行する記号を表しています。
∫f(x)dx（x＝aからb）とかくと、関数f(x)をx＝aからbまで積分することを表しています。
πは円周率のことを表しています。
x^pと書くと、xのp乗のことを表しています。
*は掛け算の記号です。
No.84554 - 2023/01/13(Fri) 13:59:26
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや
解答が付かないので、おそらく何らかの質問の仕方に不備があると思い、図を追加しました。

図の薄紫色の部分をy=xのまわりに１回転させた時に通過する部分の体積になります。
No.84628 - 2023/01/19(Thu) 11:22:11
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT
題意はNo.84554 でわかってました。（他の方もだと思います）　
計算が難しいのでは？　
どんなレベル（出典）の問題ですか？
No.84672 - 2023/01/20(Fri) 20:04:06
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや
最初はx軸とy軸のまわりに回転させる問題があったので、
それをy=x軸やy=-x軸でも回転させてみて下さいと先生に言われたので
回転させてみています。
Σの形で書かないといけないと思っています。
No.84674 - 2023/01/21(Sat) 08:46:58
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT
先生に聞いて見ればいいのでは？
No.84675 - 2023/01/21(Sat) 09:04:24
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや
昨年末で退職されました。
No.84676 - 2023/01/21(Sat) 09:32:38
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT
罪な先生ですね。受験生なら　進学後に考えた方が良いと思います。
No.84677 - 2023/01/21(Sat) 12:16:54
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや
お気遣いありがとうございます。
受験生でしたが、特色入試なのであとは最後の結果待ちです。

ただ、質問をしたのに受験生なら今は考えない方が良いと言われると少し辛いものがあります。
No.84682 - 2023/01/21(Sat) 17:31:55
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT
失礼しました。特色入試が済んだのなら別です。
（京大数理科学系の特色なら２次合格で実質合格ってことかな？　勝手な推測ですが）
大学数学の微積分の問題集もみましたがこんな難しい（そうな）のはないですね。
「それをy=x軸やy=-x軸でも回転させてみて下さいと先生に言われた」高校+αレベルでの答えを知っておられて言われたのか、まず解けないと知っていて言われたのか微妙ですね。
私も引き続き考えてみます。
（大分下になったので、もう一度、改めて投稿された方が良いかも知れません。式は転記するには入力のが良いですが、見るには手書きの方が良いですね）

個別のpの値（２，３、４．．）については、計算できるので、そこから規則性を見つけるとかですかね。

御存知かも知れませんが、下記数学質問サイトなどもかなり多くのQAがあります。TAGで分野を選べます。
https://math.stackexchange.com/questions/tagged/integration
No.84683 - 2023/01/21(Sat) 18:03:37
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT
∫（1-(1-t^(1/p))^p-t)^2*(-1+(1-t^(1/p))^(p-1)*t^((1/p)-1))dt

の部分はどういう計算で出されましたか？
No.84684 - 2023/01/21(Sat) 20:26:28
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / IT
(x-(1-x^(1/p))^p)^2を積分すると「超幾何関数」が出て来ますね。

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%28x-%281-x%5E%281%2Fp%29%29%5Ep%29%5E2%E3%82%92%E7%A9%8D%E5%88%86
No.84686 - 2023/01/21(Sat) 21:23:39
☆ Re: y=xまわりに回転体の体積 / ともや
数理科学系の2次合格で、あとは共通テストの結果と合わせて最終合格が決まります。


∫（1-(1-t^(1/p))^p-t)^2*(-1+(1-t^(1/p))^(p-1)*t^((1/p)-1))dt

の部分は、曲線上の点からy=xまでの距離を半径とする円をy=xを軸として積み重ねて計算しています。

難しそうなので諦めます。
おっしゃっているように大学に入ってから考えてみます。
色々と協力していただきありがとうございます。
No.84687 - 2023/01/21(Sat) 23:42:18