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記事No.84737に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ よー
引用
大学2年生です。
画像の複素積分の解き方を教えてください。
答えはi/6log5です。
途中式などもわかりやすく教えていただけるとありがたいです。
No.84737 - 2023/01/27(Fri) 21:57:07
☆
Re:
/ ポテトフライ
引用
積分路z=e^{it},-π/2≦t≦π/2なので
与式=∫_[-π/2,π/2]ie^{it}/(9+4e^{2it})dt
あとは積分を頑張って実行すれば答えになります。
参考
https://www.wolframalpha.com/input?i=int_%7B-%CF%80%2F2%7D%5E%7B%CF%80%2F2%7D+ie%5E%7Bit%7D%2F%289%2B4e%5E%7B2it%7D%29+dt&lang=ja
No.84738 - 2023/01/27(Fri) 23:05:39
☆
Re:
/ ast
引用
被積分函数の正則領域上での積分だから積分路に依らず端点での値のみで決まるし, しかも 1/(z^2+a^2) (の定数倍) の形だから原始函数はあきらかに arctan いっぱつで書ける.
特に計算過程のみに関しては複素積分に特有な手順などは要らないはずなので, それでなぜ解き方すら尋ねるようなレベルで計算できないとなるのか……?
# まあ確かに相手は "複素変数の" 逆正接 arctan だが, いま必要なのは純虚数における値だから,
# 実際には実変数の逆双曲線正接 artanh になり, つまり結局は対数が出てくるのは当然の流れ.
## (各逆双曲線函数の中身が対数函数で書ける簡単な函数だというのは一般教養として.)
No.84739 - 2023/01/28(Sat) 01:51:07
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Re:
/ ポテトフライ
引用
astさん
＞被積分函数の正則領域上での積分だから積分路に依らず端点での値のみで決まるし
確かにそうですね。複素積分の定義に従うよりはるかに簡単に計算できますね。正則関数であることから実積分っぽく計算すれば
与式=∫[-i,i]dz/(9+4z^2)
=[(1/6)arctan(2z/3)]_[-i,i]
=・・・
=(i/6)*log5
No.84747 - 2023/01/28(Sat) 21:09:07
☆
Re:
/ ast
引用
まあ出題者が想定しているのはおそらく, ポテトフライさんが No.84738 で書かれた計算と同様の仕方で, ただし積分路 C を虚軸上を -i から i まではしる積分路 C' に取り換えて計算することなのではないでしょうか.
# すると ∫[-1,1] dy/(9-4y^2) という高校レベルの平易な実積分の実行可否に話が帰着されるので.
## いずれにしても「途中式」云々と訊いてくるのはしょうもない場面ですけれど.
No.84750 - 2023/01/28(Sat) 23:03:41
