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記事No.84771に関するスレッドです
★ 正二十面体の計量 / I
（2）?@?Aの解説をお願いします！
（どうやら重心の性質を使うようです）
No.84770 - 2023/01/30(Mon) 10:40:12
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
（2）1,2です
画像つけ忘れと文字化けすみません
No.84771 - 2023/01/30(Mon) 10:42:46
☆ Re: 正二十面体の計量 / ヨッシー
(1)

図のように、ｘを取ると、ｘ，ｘ，２ の三角形と、２，２，(x+2) の三角形は相似なので、
　ｘ：２＝２：(x+2)
　x(x+2)＝4
　ｘ^2＋2x−4＝０
これを ｘ＞０ で解いて、
　ｘ＝√5−1
求める対角線は
　ｘ＋２＝√5＋1　・・・答え(1)

(2) は後ほどですが、三角関数履修済みということでいいですか？
No.84775 - 2023/01/30(Mon) 19:05:45
☆ Re: 正二十面体の計量 / ヨッシー
※(1) の解答でｘを使いましたが、(2) で聞かれているｘとは別物です。

(2)

正五角形ＡＢＦＣ’Ｅ’において、中心をＯ、ＡＣ’の中点をＭ、Ｃ’Ｆの中点をＨとします。
Ｃ’Ｅ’＝２、Ｃ’Ｍ＝(√5＋1)/2　より、
　Ｅ’Ｍ^2＝４−(√5＋1)^2/４
　　＝４−(6＋2√5)/4＝(5−√5)/2
△Ｃ’Ｅ’Ｍ∽△ＯＨＣ’　より
　Ｃ’Ｏ：Ｃ’Ｈ＝Ｃ’Ｅ’：Ｅ’Ｍ
　Ｃ’Ｏ^2＝Ｃ’Ｈ^2・Ｃ’Ｅ’^2／Ｅ’Ｍ^2
　　＝１^2・２^2／{(5−√5)/2}
　　＝８／(5−√5)＝８(5＋√5)/２０＝２(5＋√5)/５

△Ｃ’ＯＤ’（Ｄ’は元の問題の図の点Ｄ’）における三平方の定理より
　ＯＤ’^2＝Ｃ’Ｄ’^2−Ｃ’Ｏ^2
　　＝４−２(5＋√5)/５＝２(５−√5)／５

正五角形Ａ’Ｂ’Ｆ’ＣＥ の中心をＯ’とすると、
　Ｄ’、Ｏ、Ｏ’、Ｄ
は一直線上にあり、
　Ｄ’Ｏ：ＯＯ’：Ｏ’Ｄ＝ｘ：２：ｘ＝(√5−1)：２：(√5−1)
よって、ＤＤ’の長さ（ＡＡ’も同じ）は、Ｄ’Ｏの
　2√5/(√5−1)　倍。
つまり、ＡＡ’^2は、ＯＤ’^2 の 20/(√5−1)^2＝10/(3−√5)＝5(3＋√5)/2 倍。
よって、
　ＡＡ’^2＝２(５−√5)／５×5(3＋√5)/2＝(５−√5)(3＋√5)＝10＋2√5


△ＡＢＣに垂直な方向から△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’を見ると、
図のようになり、水平距離でＡＡ’＝(4/3)√3　です。
右の図は△ＡＢＣが線分に見える方向から見た図で、三平方の定理より
　ｈ^2＝ＡＡ’^2−{(4/3)√3}^2＝10＋2√5−16/3＝14/3＋2√5
No.84780 - 2023/01/30(Mon) 22:34:30
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
中3です（一応三角関数はできます）
No.84785 - 2023/01/31(Tue) 12:08:00
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
わかりやすい解説ありがとうございます！
No.84786 - 2023/01/31(Tue) 12:08:49