問題文:f(x)=??(0→1)|t^3-3t-x|dt の最小値を求めよ
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No.84787 - 2023/01/31(Tue) 19:06:58
| ☆ Re: dreaming muscle / 黄桃 | | | >この先は4次の増減表で地道にやるしかないのでしょうか？
初見だとそうなるでしょうが、以下のようにまとめることができます。
(iii)の場合に 最初から t^3-3t は0≦t≦1で単調減少だから、 x=p^3-3p (0≦p≦1) となるpがただ1つある、として、
f(x)=f(p^3-3p)=g(p)と置き、g(p)の変化を調べる、といえば
g(p)
=∫[0,p] t^3-3t-(p^3-p) dt + ∫[p,1] (p^3-p)-(t^3-3t) dt
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -∫[0,p](p^3-3p) dt+∫[p,1](p^3-3p)dt -∫[p,1](t^3-3t)dt
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -p(p^3-3p)-∫[p,1](t^3-3t)dt+(1-p)(p^3-3p)
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -∫[p,1](t^3-3t)dt+(1-2p)(p^3-3p)
だから、
dg(p)/dp
=(p^3-3p)+(p^3-3p)-2(p^3-3p)+3(1-2p)(p^2-1)
((1-2p)(p^3-3p) の微分には積の微分の公式を使った）
=3(1-2p)(p^2-1)
（(p^3-3p)をPとでもおけば、P+P-2P=0)
となり、g(p)の増減がすぐにわかります。
おそらく、この計算（t^3-3tでなくても、積分区間で単調増加や単調減少の微分可能な関数であれば同様に積分区間の中点で最小となる）がITさんのいう厳密性に相当するものではないかと思います。
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No.84799 - 2023/02/02(Thu) 07:58:07 |
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