現在高校3年生です。レベルは入試問題くらい？です。
kは3以上の自然数で、x=2π/kとするなら
(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...k-1)単位円周上にある正k角形の頂点という認識で良いですか？
例えばk=3なら(cos(nx),sin(nx))は単位円周上にある正3角形の頂点のように。
ここで質問なのですが
Σ記号の下がn=0で、上がk-1のΣcos(nx)=0なのですが、例えばk=3のときなどは計算ができて0となることが確認できるのですが、kが3以上の整数であってもΣcos(nx)=0は成立しますか？またそれを証明することは高校数学の知識で可能ですか？
私が解いていた問題ではk=7のときで(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...６)単位円周上にある正7角形の頂点をなす。
Σ記号の下がn=0で、上が6のΣcos(nx)=「あ」
「あ」に当てはまる数を答えよ。という問題で、答えは0
で解答は「正七角形の対称性より」しか書いていなかったため、理由が知りたくて質問しました。
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No.84830 - 2023/02/07(Tue) 16:54:22
| ☆ Re: 正n角形の対称性 / ast | | | # 何させようとしてる問題なのか, 文脈がよくわからんなあ
そのような設定で作った正 k-角形の (幾何学的) 重心 ((1/k) Σ_[n=0,…,k-1] cos(2πn/k), (1/k) Σ_[n=0,…,k-1] sin(2πn/k)) が原点に一致するという話をしたいのか, あるいはそれは自明のこととして用いてよいのか, (問題文の全体すらきちんと引用されないような質問の仕方されると) 推測のしようもないですが, 何れにしてもこの部分で扱うのが重心であるというところはたぶん合っているでしょう.
で, 正多角形の対称性にはいろいろな種類がありうるが, (適当な角度での) 回転対称性から重心はその回転に対して不変だし, (適当な軸に関する) 線対称性を考えれば重心はその軸上にあるので, 重心を見つけるだけなら適当な対称軸を二つとってその交点が重心になる程度のことはすぐに言えるのだろうと言ったところでしょうか.
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No.84831 - 2023/02/07(Tue) 17:27:06 |
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