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記事No.84910に関するスレッドです
★ (No Subject) / ラジオディア
xy平面において、原点Oと異なる点Pがあり、点Oを端点とする半直線OP上にOP×OQ＝1となるような点Q(x,y)を考える。点Pがx=h(h>0)上を動くとき点Qの動く軌跡を求めよ
No.84822 - 2023/02/06(Mon) 19:59:57
☆ Re: / X
方針を。

P(X,Y)とすると、条件から
↑OQ=(1/OP^2)↑OP
∴
x=X/(X^2+Y^2) (A)
y=Y/(X^2+Y^2) (B)
一方、点Pの存在範囲について
X=h (C)
(C)を(A)(B)に代入して
x=h/(h^2+Y^2) (A)'
y=Y/(h^2+Y^2) (B)'
後は(A)'(B)'からYを消去します。
但し、(A)'とh＞0により
xの値の範囲に注意しましょう。
No.84835 - 2023/02/07(Tue) 18:46:50
☆ Re: / ラジオディア
どうYを消去するのですか？
No.84852 - 2023/02/08(Wed) 18:37:11
☆ Re: / ラジオディア
自分で解いて（1/2k,0)を中心とする半径1/2kの円から原点を除いたものとなりました。問題に続きがあり、３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上を点Pが動くときのQの軌跡を求めよという問題で、上の問題を使うのはわかるのですが範囲をどう絞ればいいかわかりません。
No.84861 - 2023/02/09(Thu) 17:46:46
☆ Re: / X
＞＞自分で解いて〜なりました。

＞＞（1/2k,0)
が
((1/2)h,0)
＞＞半径1/2kの円
が
半径(1/2)hの円
のタイプミスであるなら、こちらの計算結果と同じです。

＞＞３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上〜
「三角形上」とは三角形の周及び内部
という意味ですか？
No.84862 - 2023/02/09(Thu) 18:06:40
☆ Re: / ラジオディア
すいません。タイプミスでした。三角形上は周だけです。
No.84863 - 2023/02/09(Thu) 18:14:18
☆ Re: / X
＞＞３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上〜
について、ヒントを。

(A)(B)と同様にして
双対性(つまりP,Qの立場を入れ替えても同じ)
により
X=x/(x^2+y^2) (A)"
Y=y/(x^2+y^2) (B)"
が成立します。

もし、このヒントで解けないようならその旨を
アップして下さい。
(ちなみに最初にご質問の問題の結果は
使いません。)
No.84864 - 2023/02/09(Thu) 18:20:35
☆ Re: / X
それから一言お詫びを。

最初の問題の質問についてですが、最初から
(A)"を提示できていれば
(つまり、↑OP,↑OQの対応関係を
逆に考えていれば)
簡単に解ける問題でした。
(ごめんなさい。)
No.84865 - 2023/02/09(Thu) 18:25:56
☆ Re: / ラジオディア
AC上を動くときがわかりません。
No.84885 - 2023/02/10(Fri) 14:39:58
☆ Re: / X
他の掲示板の同じ問題の質問から
A(-1,2),B(-1,-1),C(2,-1)
と解釈して回答を。
条件から辺CAの方程式は
y=-x+1　(但し-1≦x≦2)
∴点Pについて
Y=-X+1 (C)
-1≦X≦2 (D)
(C)(D)に(A)"(B)"を代入すると
y/(x^2+y^2)=-x/(x^2+y^2)+1 (C)'
-1≦x/(x^2+y^2)≦2 (D)'
(C)'より
y=-x+x^2+y^2 かつ(x,y)≠(0,0)
∴(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2かつ(x,y)≠(0,0) (C)"
(D)より
-(x^2+y^2)≦x≦2(x^2+y^2)かつ(x,y)≠(0,0)
∴
(x+1/2)^2+y^2≧1/4 (E)
かつ
(x-1/4)^2+y^2≧1/16 (F)
かつ
(x,y)≠(0,0) (G)

(C)"(E)(F)(G)を図示します。
No.84894 - 2023/02/12(Sun) 18:00:15
☆ Re: / X
(C)"(E)(F)(G)を図示するとこのようになります。
No.84900 - 2023/02/12(Sun) 20:52:53
☆ Re: / X
ここで(E)(F)の境界線と(C)"との
原点以外の交点の座標はそれぞれ
(-1/5,2/5),(2/5,-1/5)
よって辺CAに対応する点Qの軌跡は

点(1/2,1/2)を中心とし、
点(-1/5,2/5),(2/5,-1/5)
を両端とする劣弧

となります。
No.84901 - 2023/02/12(Sun) 20:56:21
☆ Re: / X
改めて図示するとこんな感じになります。
No.84910 - 2023/02/13(Mon) 17:46:29