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記事No.84994に関するスレッドです
★ 二次関数上の三角形の面積 / I
図の条件で、三角形の面積がaImn/2で求められる理由を教えて下さい。
No.84994 - 2023/02/22(Wed) 18:03:28
☆ Re: 二次関数上の三角形の面積 / X
三角形の頂点を左から順に
A(t,at^2),B(u,au^2),C(v,av^2)
(t＜u＜v)
とします。
今、点A,B,Cからx軸に下した垂線の足を
それぞれA',B',C'とし、△ABCの面積を
Sとすると

S=(台形AA'C'Cの面積)-(台形AA'B'Bの面積)-(台形BB'C'Cの面積)
=(1/2)(at^2+av^2)(v-t)-(1/2)(at^2+au^2)(u-t)-(1/2)(au^2+av^2)(v-u) (A)
I=u-t (B)
m=v-u (C)
n=v-t (D)
(A)より
S=(1/2)a(t^2+v^2)(v-t)-(1/2)a(t^2+u^2)(u-t)-(1/2)a(u^2+v^2)(v-u)
=(1/2)a(vt^2-tv^2)-(1/2)a(ut^2-tu^2)-(1/2)a(vu^2-uv^2)
=(1/2)a{(v-u)t^2-(v^2-u^2)t-(vu^2-uv^2)}
=(1/2)a{(v-u)t^2-(v+u)(v-u)t-vu(u-v)}
=(1/2)a(v-u){t^2-(v+u)t+vu}
=(1/2)a(u-t)(v-u)(v-t)
これに(B)(C)(D)を代入して
S=(1/2)aImn
No.84996 - 2023/02/22(Wed) 18:43:59
☆ Re: 二次関数上の三角形の面積 / ヨッシー
同じですが、図も描いたので載せておきます。

図のようにｘ座標を s,t,u とし、各点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとします。
また　f(x)＝ax^2 とします。

三角形の面積Ｓは、
　Ｓ＝四角形ＡＤＦＣ−四角形ＡＤＥＢ−四角形ＢＥＦＣ
個別に計算すると、
　四角形ＡＤＦＣ＝(u-s){f(s)＋f(u)}/2＝a(u-s)(s^2＋u^2)/2＝a(u^3-su^2+s^2u-s^2)/2
　四角形ＡＤＥＢ＝(t-s){f(s)＋f(t)}/2＝a(t-s)(s^2＋t^2)/2＝a(t^3-st^2+s^2t-s^2)/2
　四角形ＢＥＦＣ＝(u-t){f(t)＋f(u)}/2＝a(u-t)(t^2＋u^2)/2＝a(u^3-tu^2+t^2u-t^2)/2
よって、
　Ｓ＝(a/2){(u^3-su^2+s^2u-s^3)−(t^3-st^2+s^2t-s^3)−(u^3-tu^2+t^2u-t^3)}
　　＝(a/2){(-su^2+s^2u)−(-st^2+s^2t)−(-tu^2+t^2u)}
　　＝(a/2){s^2(u-t)+s(t^2-u^2)+(tu^2-t^2u)}
　　＝(a/2){s^2(u-t)-s(u-t)(u+t)+tu(u-t)}
　　＝(a/2)(u-t){s^2-s(u+t)+tu}
　　＝(a/2)(u-t)(u-s)(t-s)
　　＝(a/2)Imn
No.84997 - 2023/02/22(Wed) 19:00:03
☆ Re: 二次関数上の三角形の面積 / らすかる
もし積分の1/6公式をご存知なら
(三角形)=(1/6)a(n^3-I^3-m^3)
=(1/6)a{(I+m)^3-I^3-m^3}
=(1/6)a{3Im(I+m)}
=(1/2)aImn
No.84999 - 2023/02/22(Wed) 21:46:01
☆ Re: 二次関数上の三角形の面積 / IT
X さんの計算で早めに(B)(C)(D)を使うと少し見通しが良いかも知れません。

S=(1/2)a(t^2+v^2)(v-t)-(1/2)a(t^2+u^2)(u-t)-(1/2)a(u^2+v^2)(v-u)
=(1/2)a{(t^2+v^2)(I+m)-(t^2+u^2)I-(u^2+v^2)m}
=(1/2)a{(t^2)m+(v^2)I-(u^2)I-(u^2)m}
=(1/2)a{(t^2-u^2)m+(v^2-u^2)I}
=(1/2)a{(t+u)(t-u)m+(v+u)(v-u)I}
=(1/2)a{-(t+u)Im+(v+u)mI}
=(1/2)a{(v-t)Im}
=(1/2)aImn
No.85001 - 2023/02/23(Thu) 07:46:09
☆ Re: 二次関数上の三角形の面積 / X
＞＞ITさんへ
実は最初に立式したときはITさんの計算式の2行目の形
(但し、I+mの所はnとしたのですが)
だったのですが、計算の見通しが立たなかったので
全てt,u,vで表した上であれこれ計算する過程を
選びました。
そこまでしなくても計算できたのですね。
No.85002 - 2023/02/23(Thu) 16:56:44
☆ Re: 二次関数上の三角形の面積 / IT
（別解）左から３頂点をA(t,at^2),B(u,au^2),C(v,av^2) とする.
直線ACの方程式は,y=a((v+t)x-vt)
Bを通りx軸に垂直な直線とACとの交点をDとすると
BD=a((v+t)u-vt)-au^2
=a(v(u-t)-u(u-t))
=a(v-u)(u-t)
=amI
よって△ABC=(1/2)amIn
No.85003 - 2023/02/23(Thu) 21:42:23