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記事No.85132に関するスレッドです
★ 中学2年　平行四辺形になるための条件について / うさぎ
塾でテストがあり、その時に友人が、「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」も平行四辺形になるんじゃないかと言っていたのですが、なりますか？
私はならない気がするのですがうまく友人に説明できなかったので教えてください。

また、教科書に載っている５つ（2組の辺が平行、等長、2組の角が等しい、1組の辺が平行で等長、対角線が互いの中点で交わる）
以外に平行四辺形になる条件は存在するんですか？
もしあったら理由もあわせて教えて欲しいです！気になります。
No.85129 - 2023/03/12(Sun) 21:06:08
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / IT
> 「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」も平行四辺形になるんじゃないかと言っていたのですが、なりますか？
なるとは限りませんね。
凸四角形でない反例は、容易に示せます。後で図を挙げます。
No.85130 - 2023/03/12(Sun) 22:14:18
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる
例えば凸四角形ABCDの4頂点を
A(0,0)
B(2√6-2√3+2√2-2,0)
C(2√6-2√3+3√2-2,√6)
D(2,2)
とすると、辺の長さは
AB=2√6-2√3+2√2-2≒2.26
BC=2√2
CD=-2√6+2√3-2√2+6≒1.74
DA=2√2
角度は
∠DAB=45°
∠ABC=120°
∠BCD=45°
∠CDA=150°
となりBC=DA、∠DAB=∠BCDなので
「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」を満たしていますが、
AB≠CDなので平行四辺形ではありません。

「平行四辺形になる条件」は考えればいろいろ作れると思いますが、
簡単なものでは例えば
「1組の対辺が平行で1組の対角が等しい」
とか
「隣接角の和がすべて180°」
とか。
No.85131 - 2023/03/12(Sun) 22:59:03
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / IT
らすかるさんが　凸四角形の反例を挙げておられますので
必要ないかもしれませんが、下図の平行四辺形ABCDについて
Aを中心に△AEDを回転してEをCに動かすと反例になります。
No.85132 - 2023/03/12(Sun) 23:34:36
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / ポテトフライ
> また、教科書に載っている５つ（2組の辺が平行、等長、2組の角が等しい、1組の辺が平行で等長、対角線が互いの中点で交わる）
> 以外に平行四辺形になる条件は存在するんですか？

あります。が、実用性を考慮すると微妙かもしれません。むしろ「どんな条件を満たせば平行四辺形になるか？」ということを考えることの方が重要な気がします。


以下、私の考えとスレ主さんの考察の助けになる(かもしれない)話を書きます。

中2の教科書にある平行四辺形の成立条件5つのうち
【1組の対辺が平行で長さが等しい】
というのは極めて異質である。なぜなら、他の4条件は全て「2組の〇〇が等しい」という条件なのに対し、これだけは「1組の」となっている。なんとなく仲間はずれのような印象を受ける。
そうすると平行四辺形に出る様々な情報の組み合わせを入れ替えるとどうなるだろうか？要は「1組の対辺が平行」「1組の対辺が等しい」「1組の対角が等しい」「対角線が中点で交わる」という情報を組み合わせてみてどうなるか？ということで、例えば「1組の対辺の長さが等しい、かつ1組の対角の大きさが等しい四角形は平行四辺形となるか？」「四角形の対角線の交点が1つは中点であり(もう1つは中点かどうかわからない)、かつ1組の対辺が平行のとき平行四辺形となるか？」など。条件の選び方で結構な数が出てきそうですね(これは場合の数の話でもありますね)
No.85133 - 2023/03/13(Mon) 02:19:07
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる
私が作った図形は、ITさんの図で
AからBCの延長上に下した垂線の足をFとする
FG=CFとなるようにBFの延長上に点Gをとる
（これで△ACGはAC=AGの二等辺三角形）
そしてAを中心に△ACDを回転してCをGに動かす
のようにして作られるものです。
ITさんの例は二等辺三角形の削除、私の例は二等辺三角形の追加ということですね。
No.85134 - 2023/03/13(Mon) 16:27:08
☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる
頂点の座標と辺の長さが整数であるものも検討してみました。
四角形ABCDの頂点の座標を
A(0,0), B(15625,0), C(17047,18696), D(11250,15000)
とすると
AB=15625, BC=18750, CD=6875, DA=18750
なのでBC=DA、また
∠A=∠C≒53.13°, ∠B≒94.35°, ∠D≒159.39°
(cos∠A=cos∠C=3/5, cos∠B=-237/3125, cos∠D=-117/125)
なので∠A=∠Cとなります。
No.85138 - 2023/03/15(Wed) 01:09:14