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記事No.85144に関するスレッドです
★ 最大値 / me
このグラフの最大値と、x→∞の極値を教えてください。
出来れば解説付きでお願いします。
No.85144 - 2023/03/16(Thu) 21:14:33
☆ Re: 最大値 / らすかる
大きな勘違いをしていましたので全体を書き直します。

「x→∞の極値」がただの「極値」の意味ならば
f(x)=[√x]√x → x＞0,f(x)＞0
f(x)=x^(1/√x)
logf(x)=logx/√x
f'(x)/f(x)=(2-logx)√x/(2x^2)
f'(x)=x^(1/√x)・(2-logx)√x/2x^2
f'(x)は
2-logx＜0すなわちx＞e^2のとき減少
2-logx＞0すなわちx＜e^2のとき増加
よってf(x)はx=e^2で極大値f(e^2)=e^(2/e)をとる。
（最大値もこの極大値と同じ）

「x→∞の極値」が「x→∞の極限値」の意味ならば
f(x)=x^(1/√x)
logf(x)=logx/√x
g(x)=x^(1/3)-logxとおくと
g'(x)={x^(1/3)-3}/(3x)
g(x)はx^(1/3)-3＞0すなわちx＞27で増加
また
g(e^6)=e^2-log(e^6)＞2.7^2-6=1.29＞0
なのでx＞e^6のときg(x)＞0
従ってx＞e^6のときx^(1/3)＞logxなので0＜logx/x^(1/3)＜1
logf(x)=logx/√x={logx/x^(1/3)}・1/(x^(1/6))→0（x→∞）
となるので
lim[x→∞]f(x)=1
No.85146 - 2023/03/17(Fri) 00:28:00
☆ Re: 最大値 / IT
f(x)=x^(1/√x)　では？
No.85149 - 2023/03/18(Sat) 09:20:57
☆ Re: 最大値 / らすかる
あ、ほんとだ。大きな勘違いをしていましたね。
指摘されるまで気づきませんでした。ご指摘ありがとうございます。
新たに正しい回答を投稿しようかとも思いましたが、前の投稿量が大きく
そのまま残しておくのも問題があるかも知れませんので、前の投稿を修正しました。
No.85153 - 2023/03/18(Sat) 10:04:49