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記事No.85174に関するスレッドです
★ (No Subject) / 源田の1ミリ
複素数平面上で点zが原点中心半径1の円上を動く(点iを除く)。このとき(z-1)/(z-i)によって定まる点が存在する範囲を求めよ

写真のように解いてみたのですが検算すると間違っているような気がします。どう考えれば良いのでしょうか。解説よろしくお願いします。
No.85174 - 2023/03/22(Wed) 21:14:07
☆ Re: / X
＞＞検算すると間違っているような気がします。
どのような検算をして、間違っていると判断しましたか？
No.85177 - 2023/03/23(Thu) 17:53:15
☆ Re: / X
では、 源田の1ミリさんの計算結果が正しい
ことを別の角度から。

問題の軌跡を求める点をα+iβと置く代わりに
wと置くことにします。つまり
w=(z-1)/(z-i)
これより
(z-i)w=z-1
∴(w-1)z=iw-1 (A)
ここから
z=…
と変形して、|z|=1に代入する、
という方針でもよいのですが、
それだとw-1=0,≠0の場合分けが
煩雑ですので、
(A)の両辺の絶対値を取ってから
|z|=1を代入する方針で進めます。

(A)の両辺の絶対値を取ると
|w-1||z|=|iw-1|
これに|z|=1を代入して
|w-1|=|iw-1|
これより
|w-1|=|i(w+i)|
|w-1|=|i||w-(-i)|
∴|w-1|=|w-(-i)|
となりますので、wの軌跡は
点1と点-iを結ぶ線分の垂直二等分線
となります。


ここで上記の線分の
方向ベクトルに相当する複素数は
1-(-i)=1+i
∴上記の垂直二等分線の方向ベクトル
に相当する複素数は
(1+i)i=-1+i
更に、上記の線分の中点に相当する複素数は
{1+(-i)}/2=(1-i)/2
∴w=(-1+i)t+(1-i)/2 (B)
(tは実数)
と表すことができます。

(B)をもう少し整理すると
w=(-t+1/2)(1-i)

∴wの軌跡は
点1-iと原点を通る直線
つまり
原点を通る傾き-1の直線
となり、源田の1ミリさんの計算結果である
α+β=0
が示す内容とも一致しています。
No.85182 - 2023/03/24(Fri) 17:41:33