区間からなる任意の族の交わりは必ず一つの区間である。二つの区間の合併がふたたび区間となるための必要十分条件は、両区間の交わりが空でないか、一方の区間の開端点が他方の閉端点に一致することである。
ということを証明したいのですが、全然わかりません。ご教授お願い致します。
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No.85199 - 2023/03/31(Fri) 19:23:32
| ☆ Re: 区間の合併 / IT | | | 実数a,b(a≦b)について、閉区間a≦x≦bを[a,b] と表します。下記でどうでしょうか？
n=2 のとき、「n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない.しかも区間である。」は成立する
2以上のある自然数nについて、
「n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない.しかも区間である。」が成立すると仮定する。
n+1個の区間[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],...,,[a(n),b(n)],,[a(n+1),b(n+1)]があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でないとき
そのうち[a(n+1),b(n+1)]以外のn個の区間を考えると、仮定から、n個の区間全部の交わりは空でない。しかも区間である。
この交わりを[A,B]とする。
このとき、
少なくとも１つのi（i=1,...,n)について a(i)≧A となる。（＃少し説明が必要かも）
少なくとも１つのj（j=1,...,n)について b(i)≦B となる。
[A,B] と [a(n+1),b(n+1)]の交わりが空ならば、b(n+1)＜A または B＜a(n+1)。
b(n+1)＜Aのとき、 b(n+1)＜A≦a(i)となるので [a(n+1),b(n+1)]と [a(i),b(i)]の交わりは空となり、条件に反する。
B＜a(n+1)のとき、 b(j)≦B＜a(n+1)となるので [a(n+1),b(n+1)]と [a(j),b(j)]の交わりは空となり、条件に反する。
よって、[A,B] と [a(n+1),b(n+1)]の交わりは空でない。しかも区間である。
したがって、 n+1個の区間全部の交わりは空でない。しかも区間である。
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No.85206 - 2023/03/31(Fri) 23:00:53 |
| ☆ Re: 区間の合併 / IT | | | n個の区間[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],...,,[a(n),b(n)],があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でないとき
A=max(a(i)),B=min(b(i)) とおくと A≦Bである。（要証明）
任意のi=1,...n について [A,B] ⊆[a(i),b(i)]
[A,B]は空でないので、n個の区間全部の交わりは空でない。
で良いかもしれません。
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No.85210 - 2023/04/01(Sat) 11:02:29 |
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