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記事No.85226に関するスレッドです
★ 高校数学　極限 / ともや
(1)1
(2)cos1、sin1
解答はあるんですけど解き方が全くわかりません
No.85226 - 2023/04/03(Mon) 20:36:58
☆ Re: 高校数学　極限 / X
(1)
(与式)=lim[n→∞](1+1/n^2)^(n/2)
=lim[n→∞]{(1+1/n^2)^(n^2)}^{1/(2n)}
=e^0
=1

(2)
(1+i/n)^nの偏角をθ[n]とすると
ド=モアブルの定理により
θ[n]=nα[n] (A)
(但し、0＜α[n]＜π/2,tanα[n]=1/n (B))
なるα[n]が存在し、また、
a[n]={|1+i/n|^n}cosθ[n] (C)
b[n]={|1+i/n|^n}sinθ[n] (D)
ここで
0＜x＜π/2において、sinx＜x＜tanx(証明は省略します)
∴(B)より
sinα[n]＜α[n]＜tanα[n]
1/√(1+n^2)＜α[n]＜1/n (∵)1+1/(tanx)^2=1/(sinx)^2を使った。
これと(A)により
n/√(1+n^2)＜θ[n]＜1
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]θ[n]=1 (E)
(C)(D)(E)と(1)の結果により
lim[n→∞]a[n]=cos1
lim[n→∞]b[n]=sin1
No.85228 - 2023/04/04(Tue) 00:46:46
☆ Re: 高校数学　極限 / ともや
解答ありがとうございます。
No.85229 - 2023/04/04(Tue) 14:41:10