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記事No.85242に関するスレッドです
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3球の共通部分の体積
/ 大西
引用
領域D1,D2,D3をそれぞれ
D1：(x-a)^2+y^2+z^2≦a^2
D2：x^2+(y-a)^2+z^2≦a^2
D3：x^2+y^2+(z-a)^2≦a^2
(a＞0)
とするとき、D1とD2とD3の共通部分の体積を求めよ。
という問題なのですが、図を描いても立体のイメージが付かないです。
どこで切っても体積を求められないのですが、求め方を教えてください。
No.85239 - 2023/04/09(Sun) 20:09:59
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Re: 3球の共通部分の体積
/ 関数電卓
引用
体積を求める立体を平面 z＝k で切った断面は図の水色部分です。この面積 S(k) は何とか求まると思います。
後は S(k) を k のある範囲で積分することですが，これが首尾良く出来るかどうかは，やっていないので分かりません。済みませんが私は食指が動きません。
図は k＝a/2 の場合です。
No.85242 - 2023/04/09(Sun) 23:30:08
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Re: 3球の共通部分の体積
/ 大西
引用
関数電卓さん返信ありがとうございます。
立体のイメージはできました。
積分でも求めるのは難しそうですね。
ありがとうございました。
No.85244 - 2023/04/10(Mon) 07:16:35
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Re: 3球の共通部分の体積
/ らすかる
引用
そのままの向きでは大変そうなので、移動して1/a倍して
D1：(x-1/√6)^2+(y-1/√2)^2+z^2≦1
D2：(x-1/√6)^2+(y+1/√2)^2+z^2≦1
D3：(x+2/√6)^2+y^2+z^2≦1
とします。対称性から、0≦y≦(√3)x,z≧0の部分の体積を求めて12a^3倍すればOKです。
y=t（0≦t≦(√6-√2)/4）で切って
(x+2/√6)^2+z^2≦1-t^2 かつ x≧t/√3 を満たす弓型の面積を求めると
∫[t/√3〜√(1-t^2)-2/√6]√{1-t^2-(x+2/√6)^2} dx
=(π/4)(1-t^2)-(1/6)(√2+t)√(1-2t√2-4t^2)
-(1/2)(1-t^2)arctan((√2+t)/√(1-2t√2-4t^2))
これをt=0〜(√6-√2)/4で積分して
∫[0〜(√6-√2)/4](π/4)(1-t^2)-(1/6)(√2+t)√(1-2t√2-4t^2)
-(1/2)(1-t^2)arctan((√2+t)/√(1-2t√2-4t^2)) dt
=(1/72){6π+2-(15√2)arctan(√2)}
よって元の問題の答えは
{π+1/3-(5/√2)arctan(√2)}a^3
No.85245 - 2023/04/11(Tue) 05:16:13
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Re: 3球の共通部分の体積
/ らすかる
引用
上記の答えが正しいかどうかよくわかりませんでしたので、
モンテカルロ法により値を求めてみました。
解答の式でa=1とすると
π+1/3-(5/√2)arctan(√2)=0.0973716926…
という値になりますが、
-1≦x,y,z≦1である乱数を1000億組発生し
(x-1)^2+y^2+z^2≦1 かつ x^2+(y-1)^2+z^2≦1 かつ x^2+y^2+(z-1)^2≦1
を満たす回数を数えて
(条件を満たす回数)÷(試行回数)×8 （※8は乱数発生範囲の体積）
という式で値を出したところ
0.0973715416
という値が得られましたので、答えの式は正しそうでした。
No.85261 - 2023/04/14(Fri) 03:42:55
