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記事No.85246に関するスレッドです
★ (No Subject) / ぐっち
添付画像の問題自体は理解したのですが、次のような拡張した問題がわかりません。ご教授お願い致します。
[問題]
kを1以上の整数，nをk以上の整数とする。
n個の整数1,2,…,nから異なるk個の数を選んで作る和の総和を求めよ。
No.85246 - 2023/04/11(Tue) 21:22:19
☆ Re: / IT
例えば１は何回加える（選ばれる）ことになりますか？
No.85247 - 2023/04/11(Tue) 22:04:33
☆ Re: / ぐっち
以下のように考えたのですが、答えあってるでしょうか。
1,2,…,nのうち異なるk個をとってa[1],a[2],…a[k]とする。今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
=Σ[M=a[1]〜n]M
=n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2
Pにおけるa[1]をa[1]=1からa[1]=n-kまで動かした総和が求める和Qである
Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
=1/6(n-k)(2n^2+2kn-k^2+3k-2)
No.85248 - 2023/04/11(Tue) 22:06:09
☆ Re: / ぐっち
ITさん、メッセージありがとうございます。
1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[n_C_2]通り
ってことですよね。なるほど、この方法でも行けそうです。
No.85249 - 2023/04/11(Tue) 22:17:48
☆ Re: / ぐっち
訂正
1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[n_C_[k-1]]通り
No.85250 - 2023/04/11(Tue) 22:20:55
☆ Re: / ぐっち
何度も間違ってすいません。
1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[[n-1]_C_[k-1]]通り
No.85251 - 2023/04/11(Tue) 22:22:03
☆ Re: / IT
> 以下のように考えたのですが、答えあってるでしょうか。
>
>今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
>P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
意味（意図）が良く分かりません。

> Pにおけるa[1]をa[1]=1からa[1]=n-kまで動かした総和が求める和Qである
おかしいと思います。（小さいnで具体的に調べてみると良いかも）

> Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
> =1/6(n-k)(2n^2+2kn-k^2+3k-2)
まちがってますね。これだと、例えばn=k のとき0になりますね。
No.85252 - 2023/04/11(Tue) 22:31:23
☆ Re: / IT
> 1を選んだとき、他の2〜nの選び方は[[n-1]_C_[k-1]]通り
そうですね。
No.85253 - 2023/04/11(Tue) 22:32:19
☆ Re: / ぐっち
> > 以下のように考えたのですが、答えあってるでしょうか。
> >
> >今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
> >P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
> 意味（意図）が良く分かりません。
>
> > Pにおけるa[1]をa[1]=1からa[1]=n-kまで動かした総和が求める和Qである
> おかしいと思います。（小さいnで具体的に調べてみると良いかも）
>
> > Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
> > =1/6(n-k)(2n^2+2kn-k^2+3k-2)
> まちがってますね。これだと、例えばn=k のとき0になりますね。

Q=Σ[a[1]=1〜n-k]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
訂正[+1が必要でした]
Q=Σ[a[1]=1〜n-k+1]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
=1/6*(n-k+1){3n(n+1)-(n-k)(n-k+1)}
No.85254 - 2023/04/11(Tue) 22:50:36
☆ Re: / IT
>Q=Σ[a[1]=1〜n-k+1]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
=1/6*(n-k+1){3n(n+1)-(n-k)(n-k+1)}
n=2,k=1 のときいくらですか？

繰り返しになりますが
>今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
>P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
意味（意図）が良く分かりません。
No.85255 - 2023/04/11(Tue) 23:02:10
☆ Re: / ぐっち
> >Q=Σ[a[1]=1〜n-k+1]{n(n+1)/2-a[1](a[1]+1)/2}
> =1/6*(n-k+1){3n(n+1)-(n-k)(n-k+1)}
> n=2,k=1 のときいくらですか？
>
> 繰り返しになりますが
> >今、a[1],a[2],…a[k]を固定して次の和Pを考える。
> >P=Σ[M=a[1]〜a[2]-1]M+Σ[M=a[2]〜a[3]-1]M++Σ[M=a[k-1]〜a[k]-1]M+Σ[M=a[k]〜n]M
> 意味（意図）が良く分かりません。

異なるk個の数は小さい順に並べることができる。今、k個を取り出して、それを小さい順にa[1],a[2],…,a[k]とすると
a[1]<a[2]<a[3]<…<a[k]≦n
と必ずなる。固定したa[k]の取り得る値を考えると
Σ[M=a[k]〜n]M
となる、と考えました。他のa[1]〜a[k-1]に対しても同様の考えでそれらの和をとりました。
No.85256 - 2023/04/11(Tue) 23:21:45
☆ Re: / ぐっち
異なるk個の数は小さい順に並べることができる。今、k個を取り出して、それを小さい順にa[1],a[2],…,a[k]とすると
a[1]<a[2]<a[3]<…<a[k]≦n
と必ずなる。固定したa[k]に対して取り得る値を考えると
Σ[M=a[k]〜n]M
となる、と考えました。他のa[1]〜a[k-1]に対しても同様の考えでそれらの和をとりました。
なんか説明しにくくてうまく言えないです。すいません。
No.85257 - 2023/04/11(Tue) 23:26:15
☆ Re: / ぐっち
ITさんに教えていただいた考え方でやってみてはいるのですが、C(組み合わせ)の計算でどうしていいかわからず詰まっています。
No.85258 - 2023/04/11(Tue) 23:59:00
☆ Re: / ぐっち
ぐちゃぐちゃなんかややこしいことをやってしまっていたようです。たぶん、以下の解答で合っていると思うのですが、どうでしょうか。
数mが何回現れるかを考えると、[n-1]C[k-1]
すべてのm(1〜n)に対して言えるので求める総和は
[n-1]C[k-1](1+2+…n)
=[n-1]C[k-1]n(n+1)/2
No.85259 - 2023/04/12(Wed) 16:52:50
☆ Re: / IT
合っていると思います。
No.85260 - 2023/04/12(Wed) 18:17:28