1から教えてください。
(1)cos2kπ/9+isin2kπ/9
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No.85295 - 2023/04/20(Thu) 16:52:34
| ☆ Re: 高校数学 / X | | | x^6+x^3+1=0 (A)
とします。
(1)
(A)の両辺にx^3-1をかけて左辺を展開すると
x^9-1=0 (B)
ここで(A)は
x^3=1 (C)
を満たしませんので、(A)の解は
(B)の解から(C)の解を除いたもの
となります。
よって求める解は
x=cos(2nπ/9)+isin(2nπ/9)
(但し、n=1,2,4,5,7,8)
(2)
複素平面に置ける単位円上に、偏角が
2nπ/9 (但しn=1,2,4,5,7,8)
となる点を打っていき、これらを頂点とする
多角形を作ります。
(これはご自分でどうぞ。)
(3)
z[n]=cos(2nπ/9)+isin(2nπ/9) (D)
と置くと(1)の結果から
x^6+x^3+1=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[4])(x-z[5])(x-z[7])(x-z[8])
これにx=1を代入すると
(1-z[1])(1-z[2])(1-z[4])(1-z[5])(1-z[7])(1-z[8])=3
両辺の絶対値を取って
|1-z[1]||1-z[2]||1-z[4]||1-z[5]||1-z[7]||1-z[8]|=3 (E)
∴問題の命題は成立します。
(4)
(D)において
z[4]=cos(8π/9)+isin(8π/9)
=cos(π-π/9)+isin(π-π/9)
=-cos(π/9)+isin(π/9)
z[5]=cos(10π/9)+isin(10π/9)
=cos(π/9+π)+isin(π/9+π)
=-cos(π/9)-isin(π/9)
∴例えば、zの共役複素数を\zと書くことにすると
z[5]=\z[4] (F)
同様にして
z[7]=\z[2] (G)
z[8]=\z[1] (H)
(G)の両辺の複素共役を取ることにより
z[2]=\z[7] (G)'
(F)(G)'(H)を(E)に代入すると
{|1-z[1]|^2}{|1-z[4]|^2}{|1-z[7]|^2}=3
((注)|1-\z|=|\(1-z)|=|1-z|)
これより
[{1-cos(2π/9)}^2+{sin(2π/9)}][{1-cos(8π/9)}^2+{sin(8π/9)}][{1-cos(14π/9)}^2+{sin(14π/9)}^2]=3
[]内を展開して整理をすると
[2{1-cos(2π/9)}][2{1-cos(8π/9)}][2{1-cos(14π/9)}]=3
両辺8で割って
{1-cos(2π/9)}{1-cos(8π/9)}{1-cos(14π/9)}=3/8
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No.85301 - 2023/04/22(Sat) 18:00:28 |
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