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記事No.85352に関するスレッドです
★ (No Subject) / ⅠAⅡB
点(a,b)からy＝x^3-3xのグラフに引ける接線の本数をnとする。
(1)n=3を満たすような点(a,b)の範囲を図示せよ
(2)-3a<bかつn≦2を満たすように点(a,b)が動く時、 b-3aの最小値を求めよ
No.85338 - 2023/05/01(Mon) 17:35:44
☆ Re: / X

y=x^3-3x (A)
より
y'=3x^2-3
∴(A)上の点(t,t^3-3t)における接線の方程式は
y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t
これが点(a,b)を通るので
b=(3t^2-3)(a-t)+t^3-3t
これより
b=(3t^2-3)a-2t^3
2t^3-3at^2+3a+b=0 (B)
ここで
f(t)=2t^3-3at^2+3a+b
と置くと
f'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)

(1)
f'(t)=0の解がt=0,aであることに注意すると
求める条件は
a≠0 (C)
f(0)f(a)＜0 (D)
(D)より
(3a+b)(-a^3+3a+b)＜0
(b+3a)(b-a^3+3a)＜0
図示すると下のようになります。
(但し、境界含まず)
No.85350 - 2023/05/02(Tue) 00:01:49
☆ Re: / X
(No.85350の続き)

(2)
方針を。
(1)の結果から題意を満たす点(a,b)の領域は
下の図のようになります。
但し、境界は直線b=-3a上の点を含まず、
それ以外の境界は含みます。)
よって
b-3a=k (E)
と置くと、問題は下図の領域と
直線(E)が共有点を持つときのkの最小値を求める
ことに帰着しますので、kの最小値は

曲線b=a^3-3aの傾き3の接線の方程式と
等価になる(E)のkの値

のうち、小さい方
となります。
No.85352 - 2023/05/02(Tue) 00:34:28