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記事No.85384に関するスレッドです
★ (No Subject) / 吉田
質問です。
回転体の体積は π*∫(f(x))^2 dx でxについて積分した結果で得られるのに、表面積に関しては
2π*∫f(x) √(1 + f'(x)^2) dx = 2π*∫f(x) dl で回転体の表面に沿った長さで積分しなければならないのでしょうか。
No.85366 - 2023/05/04(Thu) 03:27:49
☆ Re: / らすかる
そんなことはありません。
dxに対する表面積を考えれば、xについての積分で求まります。
No.85367 - 2023/05/04(Thu) 11:12:45
☆ Re: / GandB
　大雑把には
https://batapara.com/archives/13322661.html/

「面積分の定義で回転体の表面積を求める」で検索をかけたが適当な例が見つからなかった。なので、もう少し詳細に知りたければベクトル解析の本で面積分の項を参照。

追記
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12187379107
も参考になるかも。
No.85368 - 2023/05/04(Thu) 12:07:27
☆ Re: / 吉田
> 　大雑把には
> https://batapara.com/archives/13322661.html/
>
> 「面積分の定義で回転体の表面積を求める」で検索をかけたが適当な例が見つからなかった。なので、もう少し詳細に知りたければベクトル解析の本で面積分の項を参照。
>
> 追記
> https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12187379107
> も参考になるかも。

微小な何で積分するかによって与えられる結果が異なるということですか？なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
No.85372 - 2023/05/05(Fri) 02:09:45
☆ Re: / 吉田
> そんなことはありません。
> dxに対する表面積を考えれば、xについての積分で求まります。

それは分かります。表面積を用いてdxで積分する方法は、要するに置換積分であり、回転体の表面に沿った長さで積分した結果と同義ですよね。
No.85373 - 2023/05/05(Fri) 02:11:33
☆ Re: / 高校三年生
>なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？

厳密には、極限値問題で「解析論」の範疇になるのでは？
と思うのですが、直観的には、理解できると思います。
円錐形の近似は、区間を微細にすれば、同値に漸近していくが、
円柱形の近似は、いくら区間を微細にしても、
同値には近づかないからではないでしょうか？

dx^2+dy^2=dr^2

この式から、dyをいくら小さくしても、dxも同じくらい小さくなるので

dx=dr

とはならないですから。
No.85374 - 2023/05/05(Fri) 06:59:00
☆ Re: / 吉田
> >なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
>
> 厳密には、極限値問題で「解析論」の範疇になるのでは？
> と思うのですが、直観的には、理解できると思います。
> 円錐形の近似は、区間を微細にすれば、同値に漸近していくが、
> 円柱形の近似は、いくら区間を微細にしても、
> 同値には近づかないからではないでしょうか？
>
> dx^2+dy^2=dr^2
>
> この式から、dyをいくら小さくしても、dxも同じくらい小さくなるので
>
> dx=dr
>
> とはならないですから。

同値に漸近するのかどうか、どのように判断すれば良いんでしょう？
体積と同様に円柱形の近似を用いて表面積も得られるだろうと推測するほうが直感的な気がするのですが。
No.85375 - 2023/05/05(Fri) 14:04:03
☆ Re: / GandB
> 体積と同様に円柱形の近似を用いて表面積も得られるだろうと推測する
> ほうが直感的な気がするのですが。
　その方針で実際に表面積を計算するとおかしなことに気づくはず。

> なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
　それが「面積」というものだから（笑）。
　円錐の微小側面積を求めるには
　　Δx^2 + Δy^2 = ΔL^2
という関係式が必要になるが、微小円柱の面積では不要。
　　Δx→0 ⇒ Δy→0, ΔL→0
ではあるけど、「各々の比を保ったまま」 0 に近づく。つまり極限においても
　　dx^2 + dy^2 = dL^2
という関係式は厳然として成り立つ。わかりにくいときは、円錐を展開した扇形の面積から円錐の微小な側面積を求めることで
　　S = 2π∫f(x)dL
　　　= 2π∫f(x) √(1 + f'(x)^2) dx
を導けば納得できるのでは。
No.85384 - 2023/05/07(Sun) 00:19:28