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記事No.85589に関するスレッドです
★ (No Subject) / 高二
この問題を解いてください。お願いします。
No.85589 - 2023/06/17(Sat) 23:05:55
☆ Re: / X
x^3+y^3+x^2+y^2+ax+by+c=0 (A)
y=mx+n (B)
とします。

(1)
(B)を(A)に代入して
x^3+(mx+n)^3+x^2+(mx+n)^2+ax+b(mx+n)+c=0
これより
(m^3+1)x^3+(3nm^2+m^2+1)x^2+(3mn^2+2mn+a+bm)x+n^3+n^2+bn+c=0 (C)
条件より(C)はxの恒等式なので(C)の左辺の係数について
m^3+1=0 (D)
3nm^2+m^2+1=0 (E)
3mn^2+2mn+a+bm=0 (F)
n^3+n^2+bn+c=0 (G)
m,nは実数であることに注意して(D)(E)を連立で解くと
(m,n)=(-1,-2/3)

(2)
(1)の結果を(F)(G)に代入すると
a-b=0 (F)'
4/27-(2/3)b+c=0 (G)'
(F)'(G)'をb,cについての連立方程式として解いて
b=a
c=(2/3)a-4/27

(3)
(2)の結果を(A)に代入すると
x^3+y^3+x^2+y^2+ax+ay+(2/3)a-4/27=0 (A)'
ここで(1)の結果からlの方程式は
x+y+2/3=0
であることから、題意を満たすためには
(A)'の左辺を因数分解したとき
x+y+2/3 (P)
が因数として含まれることが必要条件になるので
(P)が括り出せるように(A)'の左辺を変形していきます。
((A)'の左辺をx+y+2/3で直接割り算しても可)

(A)'より
x^3+y^3+x^2+y^2-4/27+a(x+y+2/3)a=0
x^3+y^3+(2/3)^3-3xy・(2/3)+x^2+y^2-2xy-4/9+a(x+y+2/3)a=0
(x+y+2/3)(x^2+y^2+4/9-xy-2x/3-2y/3)+x^2+2yx+y^2-4/9+a(x+y+2/3)a=0
(x+y+2/3)(x^2+y^2+4/9-xy-2x/3-2y/3)+(x+y+2/3)(x+y-2/3)+a(x+y+2/3)a=0
(x+y+2/3)(x^2+y^2-xy+x/3+y/3+a-2/9)=0
(x+y+2/3){x^2-(y-1/3)x+y^2+y/3+a-2/9}=0
(x+y+2/3){{x-(y-1/3)/2}^2+(3/4)y^2+y/2+a-1/4}=0
(x+y+2/3){{x-(y-1/3)/2}^2+(3/4)(y+1/3)^2+a-1/3}=0
∴
B={(x,y)|x,yは実数,{x-(y-1/3)/2}^2+(3/4)(y+1/3)^2+a-1/3=0}
と置くと、求める条件は
Bが空集合 (P)
A⊇B (Q)
のいずれかになります。
ここで
{x-(y-1/3)/2}^2+(3/4)(y+1/3)^2+a-1/3=0 (H)
⇔1/3-a={x-(y-1/3)/2}^2+(3/4)(y+1/3)^2≧0
⇔a≦1/3かつ1/3-a={x^2-(y-1/3)/2}^2+(3/4)(y+1/3)^2
∴
1/3＜a
のとき(P)を満たし、又
a=1/3
のとき
B={(-1/3,-1/3)}⊆A
なので、(Q)を満たします。
以上から求めるaの値の範囲は
1/3≦a
No.85590 - 2023/06/18(Sun) 10:13:54
☆ Re: / IT
Xさん
　途中wolflamを使ってやると　1/3≦a になりました。
　検算してないので必ずしも正しいとは限りませんが参考までに
（等号は付くのでは？）
No.85591 - 2023/06/18(Sun) 13:54:08
☆ Re: / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞高二さんへ
ごめんなさい。No.85590に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.85592 - 2023/06/18(Sun) 16:04:58