この問題がどうとっかかれば良いのか分からなくて、どなたか詳しい解説を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
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No.85658 - 2023/06/29(Thu) 13:45:07
| ☆ Re: 逆三角関数 / ast | | | θ∈(π/2,3π/2) が与えられたとき, g(x)=θ であることは tan(θ)=x, すなわち直角を挟んで底辺の長さ 1 および高さ x (したがって斜辺の長さ √(1+x^2)) であるような直角三角形の一つの角の角度 (ただし角度は (π/2,3π/2) の範囲にとる) が θ であることを意味するので, この θ に対して sin(θ)=x/√(1+x^2), したがってまた sin(θ-π)=x/√(1+x^2)(ここで, tan(θ-π)=x, θ-π∈(-π/2,π/2) に注意), これに f を施せばすなわち (g(x)=)θ = π + f(x/√(1+x^2)).
# 前半は (証明の述べ方は他にもいろいろとあるだろうが) 結局のところは
# ひとこと「sin(g(x))=x/√(1+x^2) が成り立つ」と言っているに過ぎないのだが,
# 後半では f や g のとりかた (逆函数が定まるために sin や tan の定義域をどう制限したか) が関係してくるので,
# この等式から即座に結論を得るとするにはやや早計かとは思う.
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まあそもそもの考え方として, (-1,1) と R=(-∞,∞) の間の一対一対応になるような函数を挟んで, 一方のグラフをいい感じにぐにょーんと引き伸ばして他方のグラフにできるか考えるべきではある. そういういい函数があればよくて今の場合は x/√(1+x^2): R→(-1,1) (あるいは x/√(1-x^2): (-1,1)→R) が実際それに適しているという話と思えばよい.
# 実際, -1 < x/√(1+x^2) < 1, x/√(1+x^2)→±1 (as x→±∞) などは容易に認められるはず.
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No.85659 - 2023/06/29(Thu) 15:01:16 |
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