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記事No.85678に関するスレッドです
★ 立体に接する球の半径 / 農場長
早稲田本庄の過去問です。
問題文：下図は、１辺の長さがともにａの正三角形と正六角形からなる立体の展開図である。次の各問に答えよ。

問１　この立体の体積Ｖをａを用いて表せ
問２　この立体のすべての正三角形の面に接する球の半径ｒをａを用いて表せ
問３　この立体のすべての頂点を通る球の半径Ｒをａを用いて表せ

問１は求められましたが、問２，３がわかりません。
どなたか、教えていただけないでしょうか？
No.85648 - 2023/06/28(Wed) 16:26:07
☆ Re: 立体に接する球の半径 / 関数電卓
取りあえず＜問１＞
所与の立体は，
　１辺が 3a の正四面体の４頂点から１辺が a の正四面体を４つ取り除いたもの
だから，求める体積 V は
　V＝(√2/12)(3a)^3−4･(√2/12)a^3＝(23√2/12)a^3
No.85675 - 2023/06/30(Fri) 20:38:35
☆ Re: 立体に接する球の半径 / 関数電卓
こんな感じの立体です。
No.85676 - 2023/06/30(Fri) 22:25:10
☆ Re: 立体に接する球の半径 / 黄桃
問題の図形をDとします。図と(1)は関数電卓さんの通り。
同様に、一辺がxの正四面体について、
底面積=√3/4 *x^2
高さ =√6/3 *x
体積 =√2/12 *x^3
内接球の半径=√6/12*x
は三平方の定理より容易に求まりますので既知とします。

(2)一辺が3aの正四面体Tの内接球の中心をOとします。Dの各頂点とOを結べばDの体積は4つの正六角錐と4つの正三角錐に分割できます。
正六角錐の高さはTの内接球の半径tと等しく、正三角錐の高さはrだから, 一辺がaの正三角形の面積をsとすれば(s=√3/4*a^2)
4*6s*t/3+4*s*r/3=(4/3)s(6t+r)=V
です。値を代入してrを求めれば
(5√6/12)*a
となります。

(3) (2)の球が三角形と接するのは三角形の重心で、重心と各頂点との距離は、(√3/3)a だから、三平方の定理によりOと各頂点との距離Rは
R^2=(5√6/12*a)^2+(√3/3*a)^2
なので、これより、R=(√22/4)*aとなります。
No.85677 - 2023/06/30(Fri) 22:59:29
☆ Re: 立体に接する球の半径 / 関数電卓
余りそれらしく見えないのですが，↓が問２で求めている球です。
No.85678 - 2023/06/30(Fri) 23:18:22
☆ Re: 立体に接する球の半径 / 関数電卓
問３で求めている球です。
いくらか膨らみをつけてみましたが，まだまだですね。球のイメージは難しいです。
No.85680 - 2023/06/30(Fri) 23:56:50
☆ Re: 立体に接する球の半径 / 農場長
関数電卓さん、黄桃さん、ありがとうございます！
No.85689 - 2023/07/01(Sat) 21:24:37